1991第6届CMO试题

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  二试代数部分

略

设 $f(x, y)$ 满足所述条件（1），（2），（3），则由（2），（3）知，$f(0,1)=f(1,0)=0$，因而也对所有 $0<x \leqslant 1$ 有 $f(0, x)=f(x, 0)=0$，再由任取 $z \in[0,1]$，但 $z \neq 0$，导出 $f(0,0)=f(z \cdot 0, z \cdot 0)=z^{k} f(0,0)$ 因而 $f(0,0)=0, k>0, z^{k} \neq 1$ 其次，设 $0<x \leqslant y \leqslant 1$，则由（3）及（2）知 $f(x, y)=f\left(y \cdot \dfrac{x}{y}, y \cdot 1\right)=y^{k} f\left(\dfrac{x}{y}, 1\right)=y^{k-1} x$ 现在取 $0<x<y<z<1$，则一方面 $f(f(x, y), z)=f\left(y^{k-1} x, z\right)=z^{k-1} y^{k-1} x$ 另一方面 $f(x, f(y, z))=f\left(x, z^{k-1} y\right)$ 对某固定的 $z,y$（由于 $k$ 是 $x,y,z$ 无关的常数），可取 $x$ 充分小，即使之满足 $0<x<z^{k-1} y$，则进一步 $f(x, f(y, z))=\left(z^{k-1} y\right)^{k-1} x=z^{(k-1)^{2}} y^{k-1} x$ 于是由（1）得出 $z^{k-1} y^{k-1} x=z^{(k-1)^{2}} y^{k-1} x$ 因 $x,y,z$ 均不等于 $0$，故有 $z^{k-1}=z^{(k-1)^{2}}$，即 $z^{k-1}\left(z^{(k-1)^{2}-(k-1)}-1\right)=0$ 但 $z \neq 0$，故必须 $(k-1)^{2}-(k-1)=0$ 即 $(k-1)(k-2)=0$ 于是 $k=1$ 或 $2$．当 $k=1$ 时，得映射 $f_1$ 由下式定义 $f_{1}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{x} & {, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant 1} \\ {y} & {, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 1}\end{array}\right.$ 当 $k=2$ 时，得映射 $f_2$ 由下式定义 $f_{2}(x y)=x y, 0 \leqslant x, y \leqslant 1$ 因而合条件的映射 $f$ 至多只有如上定义的两个．不难验证，$f_{1}(x, y)$ 与 $f_{2}(x, y)$ 确实满足条件（1），（2），（3）．