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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15674 590c38aa857b42000aca387b 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${a_1} = 3$，${S_n} = {a_{n + 1}} + 2n - 3$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$． 2022-04-17 19:54:15
15665 590fea62857b4200085f8692 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin x,\sin y,\sin z$ 为严格递增的等差数列．求证：$\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列． 2022-04-17 19:49:15
15663 59100473857b42000aca3915 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，对于任意正整数 $n$，都有 ${S_n} = 2 \cdot {3^n} - 2$． 2022-04-17 19:48:15
15659 5910079a857b4200085f86c9 高中 解答题 自招竞赛 设 ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^n} = {x_n} + {y_n}\sqrt 2 $，其中 ${x_n}$，${y_n}$ 为整数，求 $n \to +\infty $ 时，$\dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}$ 的极限． 2022-04-17 19:45:15
15657 59101cb9857b420007d3e650 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，设曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上的点与 $x$ 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 $\triangle O{B_1}{A_1}$，$\triangle {A_1}{B_2}{A_2}$，…，直角顶点在曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上．试求 ${A_n}$ 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在极限． 2022-04-17 19:44:15
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
15653 591028fc40fdc70009113dd2 高中 解答题 自招竞赛 口袋中有 $4$ 个白球，$2$ 个黄球，一次摸 $2$ 个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，恰好到第 $n$ 次两个黄球都被摸出，即第 $n+1$ 次时所摸出的只能是白球，则记这种情况的发生概率是 ${P_n}$，求 ${P_2},{P_3},{P_n}$． 2022-04-17 19:42:15
15647 5911758ae020e700094b09b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $2$ 的整数，试用数学归纳法证明不等式$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2 - \dfrac{1}{n};$$ 2022-04-17 19:37:15
15612 5912abf8e020e700094b0cdb 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${a^2} + a - 1 = 0$，${b^2} + b - 1 = 0$，$a < b$，设 ${a_1} = 1$，${a_2} = b$，${a_{n + 1}} + {a_n} - {a_{n - 1}} = 0$（$n \geqslant 2$），${b_n} = {a_{n + 1}} - a \cdot {a_n}$． 2022-04-17 19:16:15
15598 5912babae020e7000878fa0d 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明： 2022-04-17 19:08:15
15596 5912bd0ee020e70007fbee9a 高中 解答题 自招竞赛 如果正数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：${a_{n - 1}} + {a_{n + 1}} \geqslant 2{a_n}$（$n \geqslant 2$，$n \in \mathbb N$）． 2022-04-17 19:07:15
15593 5912becbe020e7000a798cbb 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A=\{x\mid x=n!+n,n\in\mathbb{N}^*\}$，$B$ 是 $A$ 在 ${{\mathbb{N}}^ * }$ 上的补集． 2022-04-17 19:06:15
15572 595729c0d3b4f90007b6fcc1 高中 解答题 高中习题 对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^2+\dfrac xn=1$ 的正根． 2022-04-17 19:52:14
15568 59574937d3b4f90007b6fcf4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 19:50:14
15561 595c81036e0c650007a0427c 高中 解答题 高中习题 已知 $S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中 $k,n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:47:14
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
15411 597e9324d05b90000c8057b1 高中 解答题 高中习题 记原点为点 ${P_1}\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，由点 ${P_1}$ 向三次函数 $y = {x^3} -3a{x^2} + bx$（$a\neq 0$）的图象（记为曲线 $C$）引切线，切于不同于点 ${P_1}$ 的点 ${P_2}\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$，再由点 ${P_2}$ 引此曲线 $C$ 的切线，切于不同于点 ${P_2}$ 的点 ${P_3}\left( {{x_3} , {y_3}} \right)$．如此继续作下去，得到点列 $\left\{ {{P_n}\left( {{x_n} , {y_n}} \right)} \right\}$．试回答下列问题： 2022-04-17 19:26:13
15408 597e9cf2d05b90000addb35c 高中 解答题 高中习题 已知 $\sin x , \cos x , \tan x$ 是一个双向无穷等比数列中的三项，求证：$\cot x$ 也是其中的一项． 2022-04-17 19:23:13
15404 597ec5e2d05b90000916526e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1}=\dfrac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\sin \left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}{a_n}} \right)$． 2022-04-17 19:22:13
15385 59882b8a5ed01a000ba75c34 高中 解答题 自招竞赛 （12分）数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，满足：$a_{1}=1$，$3tS_{n}-(2t+3)S_{n-1}=3t$，其中 $t>0,n\in\mathbb N^{*}$ 且 $n\geqslant 2$． 2022-04-17 19:10:13
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