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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21978 5a477073fab7080007917b3f 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，$a+b+c=1$，求证：$\sqrt{a+\dfrac14(b-c)^2}+\sqrt b+\sqrt c \leqslant 3$． 2022-04-17 20:57:13
21941 5a4d99ec8b3d5d0008a68f19 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:36:13
21881 59102a2a40fdc70009113de2 高中 解答题 高中习题 设 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 是一组不为零的实数．证明：关于 $x$ 的方程$$\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n$$至多有两个实根． 2022-04-17 20:03:13
21861 5a548f964e28b00009176998 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}\leqslant \dfrac 34$． 2022-04-17 20:54:12
21859 59915e5c3949210008597255 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的定义是：$$a_{1} = 1,b_{1} = 2,a_{n+1} = \dfrac{1 + a_{n} +a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1} = \dfrac{1 + b_{n} +a_{n}b_{n}}{a_{n}}.$$证明：$a_{2015} < 5$． 2022-04-17 20:54:12
21853 5966e303030398000978b28d 高中 解答题 高中习题 将正偶数按照如下方式进行分组：\[
(2), (4,6), (8,10,12), \cdots,
\]设第 $n \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$ 组数的和为 $a_n$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．		 2022-04-17 20:51:12
21837 59f14f7d9552360007598c0d 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\] 2022-04-17 20:42:12
21835 59f285329552360008e0305b 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$，$0<\alpha<\beta$，求证：$(a^\alpha+b^\alpha)^{\frac 1{\alpha}}>(a^\beta+b^\beta)^{\frac 1{\beta}}$． 2022-04-17 20:41:12
21834 59f2ab0d9552360007598cf8 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积 $T_n$ 满足 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 是首项为 $2$ 的等差数列，且 $T_2-T_5=\dfrac 16$． 2022-04-17 20:40:12
21827 595c83ee6e0c650007a04288 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是三角形的三边，求证：$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0$． 2022-04-17 20:36:12
21824 595c5ef3866eeb000914b666 高中 解答题 高中习题 黑板写有 $1,2,4,8,\cdots,2^{99}$ 这 $100$ 个数，甲乙两人轮流对黑板上的数进行操作（甲先），每次将其中的 $3$ 个数减 $1$．如果某次操作后黑板上出现了负数，就算输，对方获胜．问：甲有获胜的策略吗？如何操作． 2022-04-17 20:35:12
21684 5a586b591ccf880007caa429 高中 解答题 高中习题 在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 13$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{a_n^2+1}$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 20:13:11
21661 5a5b769e1ccf88000838ad78 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，$a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：\[\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{(2-a)(2-b)}{(2+a)(2+b)}}=1.\] 2022-04-17 20:01:11
21517 5a6873fefab5d70007676aee 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c,d\in\mathbb R$，且 $|k|<2$，$a^2+b^2-kab=1$，$c^2+d^2-kcd=1$，求证：$|ac-bd|\leqslant \dfrac{2}{\sqrt {4-k^2}}$． 2022-04-17 20:45:09
21516 590833a4060a05000980affe 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 为直角三角形的三边长，求 $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ 的最小值． 2022-04-17 20:44:09
21510 590abd7a6cddca00078f38f9 高中 解答题 高中习题 解方程 $x^3-3x=\sqrt{x+2}$． 2022-04-17 20:40:09
21477 5a69716cfab5d70008dc26e0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{na_n}{n+1}+2-\dfrac{1}{2^n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:24:09
21469 5a6c9a3bfab5d70008dc28bc 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n$． 2022-04-17 20:19:09
21468 5a697286fab5d70008dc26e8 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n$． 2022-04-17 20:18:09
21424 5a71dafb9bb0f20009089f5f 高中 解答题 高中习题 已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数． 2022-04-17 20:51:08
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