将正偶数按照如下方式进行分组：\[
(2), (4,6), (8,10,12), \cdots,
\]设第 $n \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$ 组数的和为 $a_n$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．
(2), (4,6), (8,10,12), \cdots,
\]设第 $n \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$ 组数的和为 $a_n$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}$
【解析】
易知第 $n$ 组数是\[ \left(n^2-n+2,n^2-n+4,\cdots,n^2+n\right),\]故\[ a_n=n^3+n.\]接下来求 $S_n$ 的时候，我们很自然地考虑分组求和：\[ S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i.\]利用我们熟知的乘法公式，得到\[n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,\]这样我们就有\begin{align*}
1^3-0^3&=3\cdot 1^2-3\cdot 1+1,\\
2^3-1^3&=3\cdot 2^2-3\cdot 2+1,\\
&\vdots\\
n^3-(n-1)^3&=3\cdot n^2-3\cdot n+1,
\end{align*}将以上各式相加，有 $n^3=3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2-3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i+n$，整理即得\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{equation*}利用我们熟知的乘法公式，得到\[
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1,
\]这样我们就有\begin{align*}
1^4-0^4&=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1,\\
2^4-1^4&=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1,\\
&\vdots\\
n^4-(n-1)^4&=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1,
\end{align*}将以上各式相加，有$$n^4=4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3-6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2+4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i-n,$$整理即得\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.\]故\[
S_n=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac {n(n+1)}2=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.
\]
1^3-0^3&=3\cdot 1^2-3\cdot 1+1,\\
2^3-1^3&=3\cdot 2^2-3\cdot 2+1,\\
&\vdots\\
n^3-(n-1)^3&=3\cdot n^2-3\cdot n+1,
\end{align*}将以上各式相加，有 $n^3=3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2-3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i+n$，整理即得\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{equation*}利用我们熟知的乘法公式，得到\[
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1,
\]这样我们就有\begin{align*}
1^4-0^4&=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1,\\
2^4-1^4&=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1,\\
&\vdots\\
n^4-(n-1)^4&=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1,
\end{align*}将以上各式相加，有$$n^4=4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3-6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2+4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i-n,$$整理即得\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.\]故\[
S_n=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac {n(n+1)}2=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.
\]
答案
解析
备注
