已知 $x,y,z\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}\leqslant \dfrac 34$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设\[\begin{cases} 2x^2+y^2+z^2=a,\\
x^2+2y^2+z^2=b,\\
x^2+y^2+2z^2=c,\end{cases}\]则\[\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}&=\sum_{cyc}\dfrac{3a-b-c}{4a}\\
&=\dfrac 94-\dfrac 14\sum_{cyc}\left(\dfrac ba+\dfrac ca\right)\\
&\leqslant \dfrac 94-\dfrac 64\\
&=\dfrac 34,\end{split}\]原命题得证．
x^2+2y^2+z^2=b,\\
x^2+y^2+2z^2=c,\end{cases}\]则\[\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}&=\sum_{cyc}\dfrac{3a-b-c}{4a}\\
&=\dfrac 94-\dfrac 14\sum_{cyc}\left(\dfrac ba+\dfrac ca\right)\\
&\leqslant \dfrac 94-\dfrac 64\\
&=\dfrac 34,\end{split}\]原命题得证．
答案
解析
备注
