已知 $a,b,c\geqslant 0$，$a+b+c=1$，求证：$\sqrt{a+\dfrac14(b-c)^2}+\sqrt b+\sqrt c \leqslant 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记不等式左边为 $m$，注意到 $b,c$ 对称，考虑设\[(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt b+\sqrt c}2,\dfrac{\sqrt b-\sqrt c}2\right),\]则\[(a,b,c)=(1-2x^2-2y^2,x^2+y^2+2xy,x^2+y^2-2xy),\]从而\[\begin{split} m&=\sqrt{1-2x^2-2y^2+4x^2y^2}+2x\\
&= \sqrt{1-2x^2+2y^2(2x^2-1)}+2x,\end{split}\]考虑到\[x=\dfrac{\sqrt b+\sqrt c}2\leqslant \sqrt{\dfrac{b+c}2}\leqslant \sqrt{\dfrac 12},\]于是\[2x^2-1\geqslant 0,\]从而根据柯西不等式\[m\leqslant \sqrt{1-2x^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt {x^2}\leqslant \sqrt 3,\]原命题得证．
&= \sqrt{1-2x^2+2y^2(2x^2-1)}+2x,\end{split}\]考虑到\[x=\dfrac{\sqrt b+\sqrt c}2\leqslant \sqrt{\dfrac{b+c}2}\leqslant \sqrt{\dfrac 12},\]于是\[2x^2-1\geqslant 0,\]从而根据柯西不等式\[m\leqslant \sqrt{1-2x^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt {x^2}\leqslant \sqrt 3,\]原命题得证．
答案
解析
备注
