题目 在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 13$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{a_n^2+1}$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$． 问题1 求 $a_2$ 的值，并证明：$a_n>a_{n+1}$； 答案1 $a_2=\dfrac 15$ 解析1 根据题意，有\[a_2=\dfrac{2a_1^2}{a_1^2+1}=\dfrac 15,\]又\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac 12+\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{a_n^2}\geqslant \dfrac{1}{a_n},\]等号当且仅当 $\dfrac{1}{a_n}=1$ 时取得，因此有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}>\dfrac{1}{a_n}\geqslant 3,\]原命题成立． 备注1 问题2 证明：$a_n\leqslant \dfrac{1}{2n+1}$； 答案2 略 解析2 记 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$，则\[b_{n+1}=\dfrac 12b_n^2+\dfrac 12,\]从而\[\dfrac{b_{n+1}-1}{b_n-1}=\dfrac{b_n+1}2\geqslant 2,\]因此\[b_n-1\geqslant 2^{n-1}\cdot (b_1-1),\]从而\[b_n\geqslant 2^n+1,\]因此\[a_n\leqslant \dfrac{1}{2^n+1}\leqslant \dfrac{1}{2n+1},\]原命题得证． 备注2 问题3 设 $T_n=\dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}$，求证：$T_n>n-\dfrac 34$． 答案3 略 解析3 只需要证明\[n-T_n<\dfrac 34,\]也即\[\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{a_k+1}<\dfrac 34,\]也即\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{b_k+1}<\dfrac 34.\]由于\[b_{k+1}-1=\dfrac 12(b_k+1)(b_k-1),\]于是\[\dfrac{1}{b_{k+1}-1}=\dfrac{2}{(b_k+1)(b_k-1)}=\dfrac{1}{b_k-1}-\dfrac{1}{b_k+1},\]因此\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{b_k+1}=\dfrac{1}{b_1-1}-\dfrac{1}{b_{n+1}-1}<\dfrac{1}{b_1-1}=\dfrac 12<\dfrac 34,\]原命题得证． 备注3