已知 $a,b,c,d\in\mathbb R$，且 $|k|<2$，$a^2+b^2-kab=1$，$c^2+d^2-kcd=1$，求证：$|ac-bd|\leqslant \dfrac{2}{\sqrt {4-k^2}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \left(a-\dfrac k2b\right)^2+\left(\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}b\right)^2=1,\\
\left(d-\dfrac k2c\right)^2+\left(\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}c\right)^2=1,\end{split}\]于是设\[\begin{split} a-\dfrac k2b=\cos\alpha,\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}b=\sin\alpha,\\
d-\dfrac k2c=\cos\beta,\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}c=\sin\beta,\end{split}\]则\[\begin{split} |ac-bd|&=\left|\left(\cos\alpha+\dfrac{k}{\sqrt{4-k^2}}\sin\alpha\right)\cdot \dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin\beta-\dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin\alpha\cdot \left(\cos\beta+\dfrac{k}{\sqrt{4-k^2}}\sin\beta\right)\right|\\
&=\left|\dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin(\beta-\alpha)\right|\\
&\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}},\end{split}\]于是原命题得证．
\left(d-\dfrac k2c\right)^2+\left(\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}c\right)^2=1,\end{split}\]于是设\[\begin{split} a-\dfrac k2b=\cos\alpha,\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}b=\sin\alpha,\\
d-\dfrac k2c=\cos\beta,\sqrt{1-\dfrac{k^2}4}c=\sin\beta,\end{split}\]则\[\begin{split} |ac-bd|&=\left|\left(\cos\alpha+\dfrac{k}{\sqrt{4-k^2}}\sin\alpha\right)\cdot \dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin\beta-\dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin\alpha\cdot \left(\cos\beta+\dfrac{k}{\sqrt{4-k^2}}\sin\beta\right)\right|\\
&=\left|\dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}}\sin(\beta-\alpha)\right|\\
&\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{4-k^2}},\end{split}\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
