已知 $a,b,c>0$，$a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：\[\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{(2-a)(2-b)}{(2+a)(2+b)}}=1.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac b2\right)^2+\left(\dfrac c2\right)^2+2\cdot \dfrac a2\cdot \dfrac b2\cdot \dfrac c2=1,\]于是可设\[(a,b,c)=(2\cos A,2\cos B,2\cos C),\]其中 $A,B,C$ 是锐角三角形 $ABC$ 的三个内角．这样就有\[LHS=\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\cdot \tan\dfrac B2=1,\]命题得证．
答案
解析
备注
