数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的定义是：$$a_{1} = 1,b_{1} = 2,a_{n+1} = \dfrac{1 + a_{n} +a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1} = \dfrac{1 + b_{n} +a_{n}b_{n}}{a_{n}}.$$证明：$a_{2015} < 5$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \dfrac{1}{a_{n+1} +1} - \dfrac{1}{b_{n+1} +1} &=\dfrac{b_{n}}{(a_{n} + 1)(b_{n} + 1)} - \dfrac{a_{n}}{(a_{n} + 1)(b_{n} + 1)} \\ &=\dfrac{(b_{n} +1) - (a_{n} +1)}{(a_{n} + 1)(b_{n} + 1)} \\ &= \dfrac{1}{a_{n} +1} - \dfrac{1}{b_{n} +1},\end{split}\]于是\[\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{b_n+1}=\dfrac{1}{a_1+1}-\dfrac{1}{b_1+1}=\dfrac 16,\]从而\[\dfrac{1}{a_n+1} > \dfrac{1}{6},\]原命题得证．
答案
解析
备注
