已知 $a,b,c$ 是三角形的三边，求证：$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，$x,y,z>0$，则\[\begin{split}LHS&=\sum_{cyc}{(y+z)^2(z+x)(y-x)}\\
&=\sum_{cyc}2xyz\left(\dfrac{y^2}{z}-x\right)\\
&=2xyz\left(\dfrac{x^2}y+\dfrac {y^2}z+\dfrac{z^2}x-x-y-z\right).
\end{split}\]而根据柯西不等式，有\[\dfrac{x^2}y+\dfrac {y^2}z+\dfrac{z^2}x\geqslant x+y+z,\]等号当且仅当 $x=y=z$ 时，即 $a=b=c$ 时取得．
因此原不等式得证．
&=\sum_{cyc}2xyz\left(\dfrac{y^2}{z}-x\right)\\
&=2xyz\left(\dfrac{x^2}y+\dfrac {y^2}z+\dfrac{z^2}x-x-y-z\right).
\end{split}\]而根据柯西不等式，有\[\dfrac{x^2}y+\dfrac {y^2}z+\dfrac{z^2}x\geqslant x+y+z,\]等号当且仅当 $x=y=z$ 时，即 $a=b=c$ 时取得．
因此原不等式得证．
答案
解析
备注
