已知 $a,b>0$，$0<\alpha<\beta$，求证：$(a^\alpha+b^\alpha)^{\frac 1{\alpha}}>(a^\beta+b^\beta)^{\frac 1{\beta}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明\[\dfrac{\ln\left(a^\alpha+b^\alpha\right)}{\alpha}>\dfrac{\ln\left(a^\beta+b^\beta\right)}{\beta},\]也即\[\dfrac{\ln\left(a^\alpha+b^\alpha\right)}{\alpha}-\ln b>\dfrac{\ln\left(a^\beta+b^\beta\right)}{\beta}-\ln b,\]也即\[\dfrac{\ln \left(t^\alpha+1\right)}{\alpha}>\dfrac{\ln\left(t^\beta+1\right)}{\beta},\]其中 $t=\dfrac ab$．接下来证明\[f(x)=\dfrac{\ln\left(t^x+1\right)}x\]是 $\mathbb R^+$ 上的单调递减函数．事实上，$f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{t^x{\ln}t^x-(t^x+1)\ln(t^x+1)}{\left(1+t^x\right)x^2}<0,\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
