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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19869 5cf4bb21210b28021fc76d4b 高中 解答题 自招竞赛 凸 $n$ 边形及 $n-3$ 条边在形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图．求证：当且仅当 $3|n$ 时，存在一剖分图是可以一笔画的圈（即可以从一个顶点出发，经过各线段恰一次，最后回到出发点）． 2022-04-17 19:26:54
19855 5cf60567210b28021fc76ddf 高中 解答题 自招竞赛 地面上有 $10$ 只小鸟在啄食，其中任意 $5$ 只鸟中至少有 $4$ 只在一个圆周上，问有鸟最多的一个圆周上最少有几只鸟？ 2022-04-17 19:21:54
19852 5cf617cd210b280220ed3ea6 高中 解答题 自招竞赛 $MO$ 牌足球由若干多边形皮块用三种不同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：
（1）任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条边用一种颜色的丝线缝合；
（2）足球上每一结点恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线的颜色不同．
求证：可以在这 $MO$ 牌足球的每一结点上放置一个不等于 $1$ 的复数，使得每一多边形皮块的所有顶点上放置的复数的乘积都等于 $1$．		 2022-04-17 19:19:54
19845 5cf88499210b280220ed3f35 高中 解答题 自招竞赛 在平面上画出一个 $9\times 9$ 的方格表，在这些小方格的每一格中都任意填入 $+ 1$ 或 $-1$．下面一种改变填入数字的方式称为作一次变动：对任意一个小方格，凡与此小方格有一条公共边的所有小方格（不包含此格本身）中的数作连乘积，于是每 取一格，就算出一个数．在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放人相应的小方格中．试间是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为 $1$？ 2022-04-17 19:16:54
19841 5cf8c9ec210b280220ed4049 高中 解答题 自招竞赛 给定集 $S=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1 993}\right\}$，其中 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1993}$ 是非零复数（可看做平面上的非零向散）．求证：可以把 $S$ 中的元素分成若干组，使得
（1）$ S$ 中的每个元素属于且仅属千其中的一组；
（2）每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；
（3）将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．		 2022-04-17 19:14:54
19840 5cf8cd2b210b280220ed4058 高中 解答题 自招竞赛 $10$ 人到书店买书，已知
（1）每人都买了三种书；
（2）任何两人所买的书，都至少有一种相同．
问购买人数最多的一种书最少有几人购买？说明理由．		 2022-04-17 19:14:54
19837 5cfdbad5210b280220ed40d1 高中 解答题 自招竞赛 $n(n \geqslant 4)$ 个盘子里放有总数不少于 $4$ 的糖块，从任选的两个盘子中各取一块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作问能否经过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去？证明你的结论． 2022-04-17 19:12:54
19822 5cfe31c0210b280220ed4204 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 是 $10$ 个两两不同的自然数，它们的和为 $1995$，试求 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{9} a_{10}+a_{10} a_{1}$ 的最小值． 2022-04-17 19:03:54
19819 5d01b304210b28021fc770dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2, \cdots, 50\}$，求最小自然数 $k$，使 $S$ 的任一 $k$ 元子集中都存在两个不同的数 $a$ 和 $b$，满足 $(a+b) | a b$． 2022-04-17 19:02:54
19817 5d01b897210b28021fc77105 高中 解答题 自招竞赛 $8 $ 位歌手参加艺术节，准备为他们安排 $m$ 次演出，每次由其中 $4$ 位登台表演，要求 $8$ 位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多．请设计一种方案，使得演出的次数 $m$ 最少． 2022-04-17 19:01:54
19813 5d01d22d210b28021fc77172 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是任意凸四边形，$P$ 是型内一点，且 $P$ 到各顶点的连线与四边形过该顶点的两条边的夹角均为锐角．递推定义 $A_{k}, B_{k}, C_{k}$ 和 $D_{k}$ 分别为 $P$ 关于直线 $A_{k-1} B_{k-1},B_{k-1} C_{k-1}, C_{k-1} D_{k-1} $ 和 $ D_{k-1} A_{k-1}$ 的对称点 $(k=2,3,\cdots)$．考察四边形序列 $A_{j} B_{j} C_{j} D_{j}(j=1,2, \cdots)$．
试问：（1）前 $12$ 个四边形中，哪些必定与第 $1997$ 个相似，哪些未必？
（2）假设第 $1997$ 个是圆内接四边形，那么在前 $12$ 个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必？
对以上问题的回答，肯定的应给证明，未必的应举例说明．		 2022-04-17 19:58:53
19812 5d022737210b280220ed446f 高中 解答题 自招竞赛 求证：存在无穷多个自然数 $m$，使得可将 $1,2,…,3n$ 列成数表
$\begin{array}{llll}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{array}$
满足如下两个条件：
（1）$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_n$ 且为 $6 $ 的倍数．		 2022-04-17 19:57:53
19799 5d07381c210b280220ed4708 高中 解答题 自招竞赛 设 $4\times 4\times 4$ 的大正方体由 $64$ 个单位正方体组成．选取其中的 $16$ 个单位正方体涂成红色，使得大正方体中每个由 $4$ 个单位正方体构成的 $1\times 1\times 4$ 的小长方体中，都恰有 $1$ 个红正方体问 $16$ 个红正方体共有多少种不同取法？说明理由． 2022-04-17 19:49:53
19796 5d07506e210b28021fc773b2 高中 解答题 自招竞赛 某乒乓球俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表，规则为：
（1）每名参加者至多属于两个对子；
（2）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；
（3）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇．
统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为＂ 赛次集"．
给定由不同的正整数组成的集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，其中每个数都能被 $6$ 整除．试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为 $A$．请证明你的结论．		 2022-04-17 19:47:53
19795 5d0769bb210b28021fc773ea 高中 解答题 自招竞赛 某次考试有 $5$ 道选择题，每题都有 $4$ 个不同答案供选择，每人每题恰选 $1$ 个答案．在 $2000$ 份答卷中发现存在一个 $ n$，使得任何 $n$ 份答卷中都存在 $4$ 份，其中每两份的答案都至多 $3$ 题相同．求 $n$ 的最小可能值． 2022-04-17 19:46:53
19788 5d0b0f1e210b280220ed4850 高中 解答题 自招竞赛 设 $X=\{1,2, \cdots, 2001\}$．求最小正整数 $m$，适合要求：对 $X$ 的任何一个 $m$ 元子集 $W$，都存在 $u, v \in W$（$u$ 和 $v$ 可以相同），使得 $u+v$ 是 $2$ 的方幂 2022-04-17 19:43:53
19786 5d0b1729210b28021fc774bd 高中 解答题 自招竞赛 将周长为 $24$ 的圆周等分成 $24$ 段，从 $24$ 个分点中选取 $8$ 个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于 $3$ 和 $8$．问满足要求的 $8$ 点组的不同取法共有多少种？说明理由． 2022-04-17 19:42:53
19779 5d0b4fc9210b28021fc77564 高中 解答题 自招竞赛 $18$ 支足球队进行单循环赛，即每轮将 $18$ 支球队分成 $9$ 组，每组的两队赛一场，下一轮重新分组进行比赛，共赛 $17$ 轮，使得每队都与另外 $17$ 支队各赛一场．按任意可行的程序比赛了 $n$ 轮之后，总存在 $4$ 支球队，它们之间总共只赛了 $1$ 场．求 $n$ 的最大可能值． 2022-04-17 19:38:53
19777 5d0c5195210b280220ed49c6 高中 解答题 自招竞赛 平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点．
求证：平面上的全体有理点可分成 $3$ 个两两不交的集合，满足条件：
（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含 $3$ 个点分属于这 $3$ 个集合；
（2）在任何一条直线上都不可能有 $3$ 个点分别属于这 $3$ 个集合．		 2022-04-17 19:37:53
19758 5d11d2a3210b28021fc77819 高中 解答题 自招竞赛 设 $X$ 是一个 $56$ 元集合．求最小的正整数 $n$，使得对 $X$ 的任意 $15$ 个子集，只要它们中任何 $7$ 个的并的元素个数都不少于 $n$，则这 $ 15 $ 个子集中一定存在 $ 3$ 个，它们的交非空． 2022-04-17 19:26:53
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