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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19474 5d2ed876210b28021fc78852 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$，且实数 $x_1 , x_2 ,\ldots,x_n \in [0,1]$，
求证：$\displaystyle \sum\limits_{1 \leqslant k<l \leqslant n} k x_{k} x_{l} \leqslant \frac{n-1}{3} \sum_{k=1}^{n} k x_{k}$．		 2022-04-17 19:54:50
19457 5d3124e7210b280220ed64dc 高中 解答题 自招竞赛 已知 $0<x, y<1$，求 $\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$ 的最大值． 2022-04-17 19:46:50
19452 5d3158d9210b280220ed652f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c>0$，求证：$\begin{aligned} \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+& \frac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\frac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)} \geqslant \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \end{aligned}$ 2022-04-17 19:45:50
19442 5d352403210b28021fc789c8 高中 解答题 自招竞赛 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 与 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 同时满足以下条件：
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=1$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i\left(a_{i}-b_{i}\right)=0$
（3）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i^{2}\left(a_{i}+b_{i}\right)=10$
求证：对任意 $l\leqslant k\leqslant n$，都有 $\max \left\{a_{k}, b_{k}\right\} \leqslant \dfrac{10}{10+k^{2}}$．		 2022-04-17 19:39:50
19438 5d354d44210b28021fc78a0d 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数 $k$，使得存在正整数 $a$ 和 $b$，满足 $\dfrac{b+1}{a}+\dfrac{a+1}{b}=k$． 2022-04-17 19:35:50
19429 5d35578c210b28021fc78a25 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是一个由实数集 $R$ 去掉有限个元素后得到的集合．证明：对任意正整数 $n$，都存在 $n$ 次多项式 $f(x)$，使得 $f(x)$ 的所有系数及 $n$ 个实根都属于 $M$． 2022-04-17 19:32:50
19428 5d3558ed210b28021fc78a2a 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，求最小的正整数 $k$，使得存在一个 $k$ 元集合 $A$ 和 $n$ 个两两不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，满足 $x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, \cdots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ 均属于 $A$． 2022-04-17 19:31:50
19422 5d366efd210b280220ed66c1 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 满足：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，且 $2 a_{k} \leqslant a_{k-1}+a_{k+1}, k=2,3, \cdots, n-1$．求最小的 $\lambda(n)$，使得对所有 $k \in\{1,2, \cdots, n\}$，都有 $\left|a_{k}\right| \leqslant \lambda(n) \cdot \max \left\{\left|a_{1}\right|,\left|a_{n}\right|\right\}$． 2022-04-17 19:27:50
19421 5d3675a6210b280220ed66e7 高中 解答题 自招竞赛 实数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{0} \neq 0,1, a_{1}=1-a_{0}, a_{n+1}=1- a_{n}\left(1-a_{n}\right),n=1,2,\cdots$．证明：对任意正整数 $n$，都有 $a_{0} a_{1} \cdots a_{n}\left(\dfrac{1}{a_{0}}+\dfrac{1}{a_{1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right)=1$ 2022-04-17 19:26:50
19418 5d367c58210b28021fc78ab0 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m\geqslant 2$，$a$ 为正实数，$b$ 为非零实数，数列 $\{x_n\}$ 定义如下：$x_{1}=b, x_{n+1}=a x_{n}^{m}+b, n=1,2, \cdots$．证明：
（1）当 $b<0$ 且 $m$ 为偶数时，数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \geqslant-2$；
（2）当 $b<0$ 且 $m$ 为奇数，或 $b>0$ 时，数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \leqslant \dfrac{(m-1)^{m-1}}{m^{m}}.$		 2022-04-17 19:25:50
19416 5d369947210b28021fc78ac5 高中 解答题 自招竞赛 设 $x, y, z \in(0,1)$，满足：$\sqrt{\dfrac{1-x}{y z}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{z x}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{x y}}=2$．求 $xyz$ 的最大值． 2022-04-17 19:24:50
19415 5d369da2210b280220ed6738 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为给定的正整数，求最大的正整数 $k$，使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}, B=\left\{y_{1}\right.$ $y_{2}, \cdots, y_{k} \}$ 和 $C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}$ 满足：对任意 $1 \leqslant j \leqslant k$，都有 $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$． 2022-04-17 19:23:50
19414 5d36a191210b280220ed674c 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 为正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 内的任意一点，直线 $A_{i} P$ 交 正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的边界于另一点 $B_{i}, i=1,2, \cdots, n$．
证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} P B_{i}$．		 2022-04-17 19:23:50
19405 5d36abfa210b280220ed6769 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是给定的正整数，$n \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(0,1)$．求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)}$ 的最大值，这里 $a_{n+1}=a_{1}$． 2022-04-17 19:17:50
19404 5d36ad1e210b280220ed6774 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述条件的最小正实数 $k$：对任意不小于 $k$ 的 $4$ 个互不相同的实数 $a、b、c、d$，都存在 $a、b、c、d$ 的一个排列 $p、q、r、s$，使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 $4$ 个互不相同的实数根． 2022-04-17 19:16:50
19395 5d37e53d210b280220ed6826 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c =3$．求证：$\dfrac{1}{5 a^{2}-4 a+11}+\dfrac{1}{5 b^{2}-4 b+11}+\dfrac{1}{5 c^{2}-4 c+11} \leqslant \dfrac{1}{4}$． 2022-04-17 19:11:50
19388 5d382491210b280220ed68d8 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\alpha^{2005}+\beta^{2005}$ 可表示成以 $\alpha+\beta, \alpha \beta$ 为变元的二元多项式，求这个多项式的系数之和． 2022-04-17 19:09:50
19385 5d391875210b28021fc78c13 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n>2)$ 满足 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}\right|>1,\left|x_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2, \cdots, n)$
求证：存在正整数 $k$，使得 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{k} x_{i}-\sum_{i=k+1}^{n} x_{i}\right| \leqslant 1$．		 2022-04-17 19:07:50
19382 5d392898210b280220ed6961 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c=1$，证明：$10\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-9\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right) \geqslant 1$ 2022-04-17 19:06:50
19377 5d394c33210b28021fc78c69 高中 解答题 自招竞赛 求所有的实数 $k$，使得不等式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d)$ 对任意 $a, b, c, d \in[-1,+\infty)$ 都成立． 2022-04-17 19:04:50
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