求所有的实数 $k$，使得不等式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d)$ 对任意 $a, b, c, d \in[-1,+\infty)$ 都成立．
【难度】
【出处】
2004年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $a = b = c = d =- 1$ 时，有 $-3\geqslant k\cdot (-4)$，所以 $k \geqslant \dfrac{3}{4}$．
当 $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$ 时，有 $4 \cdot \dfrac{1}{8}+1 \geqslant k \cdot\left(4 \cdot \dfrac{1}{2}\right)$，所以 $k \leqslant \dfrac{3}{4} $．故 $ k=\dfrac{3}{4}$．
下面证明不等式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c+d)$ ①
对任意 $a \cdot b \cdot c, d \in[-1,+\infty)$ 都成立．
首先证明 $4 x^{3}+1 \geqslant 3 x, x \in[-1,+\infty)$．
事实上，由 $(x+1)(2 x-1)^{2} \geqslant 0$，便得 $4 x^{3}+1 \geqslant 3 x ,x \in[-1,+\infty)$．所以
$4 a^{3}+1 \geqslant 3 a$
$4 b^{3}+1 \geqslant 3 b$
$4 c^{3}+1 \geqslant 3 c$
$4 d^{3}+1 \geqslant 3 d$
将上面的四个不等式相加，便得欲证的不等式 ①．
所以，所求的实数 $k=\dfrac{3}{4}$．
当 $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$ 时，有 $4 \cdot \dfrac{1}{8}+1 \geqslant k \cdot\left(4 \cdot \dfrac{1}{2}\right)$，所以 $k \leqslant \dfrac{3}{4} $．故 $ k=\dfrac{3}{4}$．
下面证明不等式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c+d)$ ①
对任意 $a \cdot b \cdot c, d \in[-1,+\infty)$ 都成立．
首先证明 $4 x^{3}+1 \geqslant 3 x, x \in[-1,+\infty)$．
事实上，由 $(x+1)(2 x-1)^{2} \geqslant 0$，便得 $4 x^{3}+1 \geqslant 3 x ,x \in[-1,+\infty)$．所以
$4 a^{3}+1 \geqslant 3 a$
$4 b^{3}+1 \geqslant 3 b$
$4 c^{3}+1 \geqslant 3 c$
$4 d^{3}+1 \geqslant 3 d$
将上面的四个不等式相加，便得欲证的不等式 ①．
所以，所求的实数 $k=\dfrac{3}{4}$．
答案
解析
备注
