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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19930 5cede9cb210b280220ed385b 高中 解答题 自招竞赛 设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为复数，满足 $\left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|+\cdots+\left|Z_{n}\right|=1$，求证：上述 $n$ 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于 $\dfrac{1}{6}$． 2022-04-17 19:59:54
19921 5cee344e210b28021fc76a92 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为自然数．求证：方程：$z^{n+1}-z^{n}-1=0$ 有模为 $1$ 的负根的充分必要条件是 $n+2$ 可被 $6$ 整除． 2022-04-17 19:52:54
19898 5cef7982210b280220ed3a16 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是给定的不全为 $0$ 的实数，$r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 是实数，如果不等式 $r_{1}\left(x_{1}-a_{1}\right)+r_{2}\left(x_{2}-a_{2}\right)+\cdots+r_{n}\left(x_{n}-a_{n}\right) \leqslant\\\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$
对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立，求 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 的值．		 2022-04-17 19:41:54
19895 5cf08d3d210b28021fc76ba3 高中 解答题 自招竞赛 设三个正实数 $a,b,c$ 满足 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}>2(a^{4}+b^{4}+c^{4} )$．求证：$a,b,c$ 一定是某个三角形的三条边长． 2022-04-17 19:40:54
19893 5cf0981d210b28021fc76bc9 高中 解答题 自招竞赛 如 $n$ 是不小于 $3$ 的自然数，以 $f(n)$ 表示不是 $n$ 的因数的最小自然数（例如 $f(12)=5$）．如果 $f(n)\geqslant 3$，又可作 $f(f(n))$．类似地，如果 $f(f(n))\geqslant 3$，又可作 $f(f(f(n)))$ 等．如果 $\underbrace{f\left( f\left( \cdots f\right. \right.}_{k个f}\left( n \right)\left. \left. \cdots \right) \right)=2$，就把 $k$ 叫做 $n$ 的"长度"．
如果用 $l_n$ 表示 $n$ 的长度，试对任意的自然数 $n(n \geqslant 3)$ 求 $l_n$，并证明你的结论．		 2022-04-17 19:38:54
19876 5cf0c8d4210b280220ed3b87 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n \geqslant 2)$ 都是整数且 $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=1$，求证 $\sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}} \geqslant \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}}}{\sqrt{n-1}}$ 2022-04-17 19:29:54
19875 5cf0d516210b28021fc76c29 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是复平面上的单位圆周（即模等于 $1$ 的复数的集合），$f$ 是从 $S$ 到 $S$ 的映射，对于任何 $z \in S$，定义 $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \cdots,, f^{(k)}(z)=\underbrace{f(f(\cdots(f}_{k个f}(z)))),\cdots$ 如果 $c \in S$ 及自然数 $n$ 使得 $f^{(1)}(c) \neq c, f^{(2)}(c) \neq c, \cdots, f^{(n-1)}(c) \neq c, f^{(n)}(c)=c$ 我们就说 $c$ 是 $f$ 的 $n$ -周期点．设 $m$ 是大于 $1$ 的自然数，$f$ 的定义如下 $f(z)=z^{m}, z \in S$ 试计算 $f$ 的 $1989$ -周期点的总数． 2022-04-17 19:28:54
19874 5cf485fa210b28021fc76cdc 高中 解答题 自招竞赛 $f$ 是定义在 $(1,+\infty)$ 上且在 $(1,+\infty)$ 中取值的函数，满足条件：对任何 $x, y>1$ 及 $u, v>0$，都成立 $f\left(x^{u} y^{y}\right) \leqslant f(x)^{\frac{1}{4 u}} f(y)^{\frac{1}{4 v}}$ 试确定所有这样的函数 $f$． 2022-04-17 19:28:54
19871 5cf49c53210b280220ed3d17 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)$ 对 $x\geqslant 0$ 有定义，且满足条件：
（1）对任何 $x, y \geqslant 0, f(x) f(y) \leqslant y^{2} f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{2} f\left(\frac{y}{2}\right)$；
（2）存在常数 $M>0$，当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，$|f(x)| \leqslant M$．
求证：$f(x) \leqslant x^{2}$．		 2022-04-17 19:26:54
19854 5cf60917210b280220ed3e4d 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述方程 $x^{2 n+1}-y^{2 n+1}=x y z+2^{2 n+1}$ 的所有正整数解组 $(x, y, z, n)$，这里 $n \geqslant 2$ 且 $y \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}$． 2022-04-17 19:20:54
19847 5cf760cd210b280220ed3ecb 高中 解答题 自招竞赛 设方程 $x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0$ 的系数都是实数，且适合条件 $0<a_{0} \leqslant a_{1} \leqslant \cdots \leqslant a_{n-1} \leqslant 1$ 已知 $\lambda$ 为此方程的复数根，且适合条件 $|\lambda| \geqslant 1$．试证：$\lambda^{n+1}=1$ 2022-04-17 19:17:54
19846 5cf763b4210b280220ed3ee8 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 为非负实数．记 $x_{n+1}=x_{1}, a=\min \{x_{1}, \cdots,x_n\}$．试证：$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{n} d\frac{1+x_{i}}{1+x_{j+1}} \leqslant n+\dfrac{1}{(1+a)^{2}} \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j}-a\right)^{2}$ 且证等式成立当且仅当 $x_{1}=\cdots=x_{n}$． 2022-04-17 19:16:54
19843 5cf8bdd7210b28021fc76ee6 高中 解答题 自招竞赛 给定 $K \in \mathbf{N}$ 及实验 $a>0$，在下列条件 $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r}=k, k_{i} \in \mathbf{N}, 1 \leqslant r \leqslant k$ 下，求 $a^{k_{1}}+a^{k_{2}}+\cdots+a^{k_{r}}$ 的最大值． 2022-04-17 19:15:54
19839 5cf8d1e1210b280220ed4077 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f :(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 满足对任意的 $x>0,y>0,f(x y) \leqslant f(x) f(y)$．试证：对任意的 $x>0, n \in \mathbf{N}$，有 $f\left(x^{n}\right) \leqslant f(x) f\left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots f\left(x^{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ 2022-04-17 19:13:54
19836 5cfdbc9b210b28021fc76f55 高中 解答题 自招竞赛 求适合以下条件的所有函数 $f :[1,+\infty) \rightarrow[1,+\infty)$．
（1）$f(x) \leqslant 2(x+1)$；
（2）$f(x+1)=\frac{1}{x}\left((f(x))^{2}-1\right)$．		 2022-04-17 19:11:54
19835 5cfdc2ab210b28021fc76f7f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(z)=C_{0} z^{n}+C_{1} z^{n-1}+C_{2} z^{n-2}+\cdots+C_{n-1} z+C_{n}$ 是一个 $n$ 次复系数多项式．求证：一定存在一个复数 $z_0,\left|z_{0}\right| \leqslant 1$，并且满足 $\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$． 2022-04-17 19:11:54
19825 5cfe1062210b280220ed41b6 高中 解答题 自招竞赛 设 $2n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}(n \geqslant 3)$ 满足条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$0<a_{1}=a_{2}, a_{i}+a_{i+1}=a_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$；
（3）$0<b_{1} \leqslant b_{2}, b_{i}+b_{i+1} \leqslant b_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$．
求证：$a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$．		 2022-04-17 19:05:54
19824 5cfe1452210b28021fc76fe4 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbf{N}$ 表示自然数集合，$f : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ 适合条件：$f(1)=1$，且对任何自然数 $n$ 都有
$\left\{\begin{array}{l}{3 f(n) f(2 n+1)=f(2 n)(1+3 f(n))} \\ {f(2 n)<6 f(n)}\end{array}\right.$
试求方程 $f(k)+f(l)=293, k<l$ 的所有解．		 2022-04-17 19:05:54
19818 5d01b588210b280220ed4357 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 适合条件 $f\left(x^{3}+y^{3}\right)=(x+y)\left((f(x))^{2}-f(x) f(y)+(f(y))^{2}\right)$ ① $x,y\in\mathbf R$
试证：对一切 $x\in\mathbf R$，都有 $f(1996 x)=1996 f(x)$		 2022-04-17 19:01:54
19810 5d030c20210b280220ed44cc 高中 解答题 自招竞赛 设 $A=\{1,2,3, \cdots, 17\}$．对于映射 $f : A \rightarrow A$，记 $f^{[1]}(x)=f(x), f^{[k+1]}(x)=f\left(f^{[k]}(x)\right)(k \in \mathbf{N})$ 设从 $A$ 到 $A$ 的一一射射f满足条件：存在自然数 $M$，使得
（1）当 $m<M, 1 \leqslant i \leqslant 16$ 时，有 $f^{[m]}(i+1)-f^{[m]}(i) \not\equiv \pm 1(\bmod 17)$，$f^{[m]}(1)-f^{[m]}(17) \not\equiv \pm 1(\bmod 17)$
（2）当 $1 \leqslant i \leqslant 16$ 时，有 $f^{[M]}(i+1)-f^{[M]}(i) \equiv 1$ 或 $-1(\bmod 17)$；$f^{[M]}(1)-f^{[M]}(17)\equiv 1$ 或 $-1(\bmod 17)$
试对满足上述条件的一切 $f$，求所对应的 $M$ 的最大可能值，并证明你的结论．		 2022-04-17 19:56:53
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