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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22011 5a3cf9b2fab70800079178af 高中 解答题 高中习题 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\dfrac{3n+1}{2n+2}\leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^n<\dfrac{2n+1}{n+1}$． 2022-04-17 20:14:14
22010 59705619dbbeff000aeab7e8 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的中线 $CO=2$，若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\sin^2\theta\overrightarrow{AO}+\cos^2\theta\overrightarrow{AC}$（$\theta\in\mathbb R$），求 $\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)\cdot\overrightarrow{PC}$ 的最小值． 2022-04-17 20:14:14
21987 5a4624a1fab7080008a76c86 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的导函数为 $f'(x)$，函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 上的导函数为 $f''(x)$，若在 $(a,b)$ 上，$f''(x)<0$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为凸函数．已知 $f(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac 16mx^3-\dfrac 32x^2$． 2022-04-17 20:02:14
21978 5a477073fab7080007917b3f 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，$a+b+c=1$，求证：$\sqrt{a+\dfrac14(b-c)^2}+\sqrt b+\sqrt c \leqslant 3$． 2022-04-17 20:57:13
21974 5a40aac4fab70800079179c1 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=2|x-1|-a$，$g(x)=-|2x+m|$，其中 $a$ 为实数，$m$ 为整数，关于 $x$ 的不等式 $g(x)\geqslant -1$ 的整数解有且仅有一个为 $-4$． 2022-04-17 20:55:13
21971 5a48bfdafab7080008a76d20 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$\ln(a_{n+1}-a_n)+a_n+n\ln 2=0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:52:13
21965 59126e02e020e70007fbec31 高中 解答题 自招竞赛 设二次函数 $y = f\left( x \right)$ 过点 $\left( {0, 0} \right)$，且满足 $ - 3{x^2} - 1 \leqslant f\left( x \right) \leqslant 6x + 2$．数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1} = \dfrac{1}{3}$，${a_{n + 1}} = f\left( {{a_n}} \right)$． 2022-04-17 20:48:13
21960 597ed2d9d05b90000addb453 高中 解答题 高中习题 设 ${a_n}$ 是函数 $f\left( x \right)={x^3}+{n^2}x-1$ 的零点． 2022-04-17 20:46:13
21941 5a4d99ec8b3d5d0008a68f19 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:36:13
21862 5a548d414e28b0000917698c 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}\leqslant \dfrac 34$． 2022-04-17 20:55:12
21861 5a548f964e28b00009176998 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}\leqslant \dfrac 34$． 2022-04-17 20:54:12
21837 59f14f7d9552360007598c0d 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\] 2022-04-17 20:42:12
21834 59f2ab0d9552360007598cf8 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积 $T_n$ 满足 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 是首项为 $2$ 的等差数列，且 $T_2-T_5=\dfrac 16$． 2022-04-17 20:40:12
21831 5982d33f65a6ba0009789e38 高中 解答题 高中习题 已知坐标平面 $xOy$ 内一点 $P(m,n)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于点 $A,B$，选择合适的直线形式，证明：当 $P$ 点平分线段 $AB$ 时 $\triangle PAB$ 的面积取得最小值． 2022-04-17 20:38:12
21827 595c83ee6e0c650007a04288 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是三角形的三边，求证：$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0$． 2022-04-17 20:36:12
21815 595c84406e0c65000a2cfa38 高中 解答题 高中习题 设 $a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$． 2022-04-17 20:30:12
21755 5985df895ed01a000984943e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，令$$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}.$$ 2022-04-17 20:55:11
21754 59084e7e060a05000980b0bc 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，令$$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}.$$ 2022-04-17 20:54:11
21702 5a4debe3c0972c000bdd25db 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n^2+n}\right)a_n+\dfrac{1}{2^n}$． 2022-04-17 20:23:11
21686 5a58379a1ccf88000838ac22 高中 解答题 高中习题 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BC=2$，$\angle B=45^\circ$，$AD=\sqrt 3 AC$，$\angle DAC=2\angle ACB$． 2022-04-17 20:14:11
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