在 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的中线 $CO=2$，若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\sin^2\theta\overrightarrow{AO}+\cos^2\theta\overrightarrow{AC}$（$\theta\in\mathbb R$），求 $\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)\cdot\overrightarrow{PC}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-2$
【解析】
根据题意，$P$ 点在线段 $OC$ 上（包含端点），于是\[\begin{split}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)\cdot \overrightarrow{PC}&=2\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PC}\\&=-2OP\cdot PC\\&\geqslant -2\cdot \left(\dfrac{OP+PC}2\right)^2\\&=-2,\end{split}\]等号当且仅当 $OP=PC$ 时取得．
因此所求的最小值为 $-2$．
因此所求的最小值为 $-2$．
答案
解析
备注
