题目 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的导函数为 $f'(x)$，函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 上的导函数为 $f''(x)$，若在 $(a,b)$ 上，$f''(x)<0$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为凸函数．已知 $f(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac 16mx^3-\dfrac 32x^2$． 问题1 若 $f(x)$ 为区间 $(-1,3)$ 上的凸函数，试确定实数 $m$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac 12mx^2-3x,\]其二阶导函数\[f''(x)=x^2-mx-3.\]根据题意，有\[\forall x\in (-1,3),x^2-mx-3<0,\]即\[\begin{cases} f''(-1)\leqslant 0,\\ f''(3)\leqslant 0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} m-2\leqslant 0,\\ -3m+6\leqslant 0,\end{cases}\]解得实数 $m$ 的值为 $2$． 备注1 问题2 若当实数 $m$ 满足 $|m|\leqslant 2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上总为凸函数，求 $b-a$ 的最大值． 答案2 $2$ 解析2 根据题意，当 $x\in (a,b)$ 时，有\[\forall m\in [-2,2],x^2-mx-3<0,\]也即\[\forall m\in [-2,2],\dfrac{m-\sqrt{m^2+12}}{2}<x<\dfrac{m+\sqrt{m^2+12}}2.\]因此 $a$ 的最小值为\[\lambda(m)=\dfrac{m-\sqrt{m^2+12}}{2}\]在 $m\in [-2,2]$ 上的最大值，为 $\lambda(-2)=-1$；$b$ 的最大值为\[\mu(m)=\dfrac{m+\sqrt{m^2+12}}{2}\]在 $m\in [-2,2]$ 上的最小值为 $\mu(-2)=1$．因此 $b-a$ 的最大值为 $2$． 备注2 2016年中山市一中