题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$\ln(a_{n+1}-a_n)+a_n+n\ln 2=0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 问题1 求 $a_3$； 答案1 $\dfrac 12+\dfrac{1}{4\sqrt{\rm e}}$ 解析1 根据题意，有\[(a_{n+1}-a_n)\cdot {\rm e}^{a_n}\cdot 2^n=1,\]于是\[a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{{\rm e}^{a_n}\cdot 2^n},n\in\mathbb N^{\ast},\]因此\[a_2=\dfrac 12,a_3=\dfrac 12+\dfrac{1}{4\sqrt{\rm e}}.\] 备注1 问题2 求证：$\ln(2-2^{1-n})\leqslant a_n \leqslant 1-2^{1-n}$； 答案2 略 解析2 当 $n=1,2,3$ 时，命题显然成立．进而\[a_4=a_3+\dfrac{1}{8{\rm e}^{a_3}}>\dfrac 12+\dfrac{1}{4\sqrt{\rm e}}+\dfrac{1}{8{\rm e}^{\frac 3 4 }},\]而\[\sqrt{\rm e}<\dfrac 53,{\rm e}^{\frac 34}<\dfrac 73,\]于是\[a_4>\dfrac 12+\dfrac{3}{20}+\dfrac{3}{56}=\dfrac{197}{280}>\dfrac{25}{36}>\ln 2,\]又 $\{a_n\}$ 是单调递增数列，因此左边不等式得证．<br/>又\[a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{{\rm e}^{a_n}\cdot 2^n}\leqslant\dfrac{1}{2^n},\]于是\[a_n-a_1\leqslant 0+\dfrac 12+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}},\]于是\[a_n\leqslant 1-2^{1-n},\]于是右边不等式得证．<br/>综上所述，原命题成立． 备注2 问题3 是否存在正实数 $c$，使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n<1-c$，并说明理由． 答案3 略 解析3 根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{{\rm e}^{a_n}\cdot 2^n}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}\cdot 2^n},\]于是当 $n\geqslant 3$ 时，有\[a_n-a_2\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}\cdot 2^2}+\cdots+ \dfrac{1}{\sqrt {\rm e}\cdot 2^{n-1}},\]于是当 $n\geqslant 3$ 时，有\[a_n< \dfrac 12+\dfrac 1{2\sqrt{\rm e}}=1-\dfrac{\sqrt {\rm e}-1}{2\sqrt{\rm e}},\]因此存在正实数 $c$，使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n<1-c$． 备注3