已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\dfrac{3n+1}{2n+2}\leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^n<\dfrac{2n+1}{n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于左边不等式，利用积分放缩，有\[\begin{split} \sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^n&\geqslant n\cdot \left(\int_0^1{x^n}{ {\rm d}} x+\dfrac 1{2n}\right)\\
&=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{3n+1}{2n+2}.\end{split}\]对于右边不等式，由于\[\ln\dfrac{n-k}n=\ln\left(1-\dfrac kn\right)<-\dfrac kn,\]于是\[\left(\dfrac{n-k}{n}\right)^n<{\rm e}^{-k},\]于是\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac {n-k}n\right)^n<\sum_{k=0}^{n-1}{\rm e}^{-k}<\dfrac{1}{1-{\rm e}^{-1}}=\dfrac{\rm e}{{\rm e}-1},\]因此当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\dfrac{2n+1}{n+1}>\dfrac 53>\dfrac{\rm e}{{\rm e}-1},\]而当 $n=1$ 时，容易验证右边不等式成立．
综上所述，原不等式得证．
&=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{3n+1}{2n+2}.\end{split}\]对于右边不等式，由于\[\ln\dfrac{n-k}n=\ln\left(1-\dfrac kn\right)<-\dfrac kn,\]于是\[\left(\dfrac{n-k}{n}\right)^n<{\rm e}^{-k},\]于是\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac {n-k}n\right)^n<\sum_{k=0}^{n-1}{\rm e}^{-k}<\dfrac{1}{1-{\rm e}^{-1}}=\dfrac{\rm e}{{\rm e}-1},\]因此当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\dfrac{2n+1}{n+1}>\dfrac 53>\dfrac{\rm e}{{\rm e}-1},\]而当 $n=1$ 时，容易验证右边不等式成立．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
