已知坐标平面 $xOy$ 内一点 $P(m,n)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于点 $A,B$，选择合适的直线形式，证明：当 $P$ 点平分线段 $AB$ 时 $\triangle PAB$ 的面积取得最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $l:\dfrac xa+\dfrac yb=1$（$a,b>0$），则\[\dfrac ma+\dfrac nb=1,\]于是 $\triangle PAB$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac 12ab\\&=\dfrac 12ab\left(\dfrac ma+\dfrac nb\right)^2\\&=\dfrac 12\left(\dfrac {m^2b}a+\dfrac {n^2a}b\right)+mn\\&\geqslant 2mn,\end{split}\]等号当且仅当 $\dfrac ab=\dfrac mn$ 时取得，此时 $A(2m,0)$，$B(0,2n)$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
