已知 $x,y,z\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2x^2+y^2+z^2}\leqslant \dfrac 34$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明\[\sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+y^2+z^2}\geqslant \dfrac 94.\]不妨设 $x^2+y^2+z^2=1$，于是\[\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+y^2+z^2}&=\sum_{cyc}\dfrac{1}{x^2+1}\\
&\geqslant \dfrac{9}{\sum_{cyc}(x^2+1)}\\
&=\dfrac 94,\end{split}\]原不等式得证．
&\geqslant \dfrac{9}{\sum_{cyc}(x^2+1)}\\
&=\dfrac 94,\end{split}\]原不等式得证．
答案
解析
备注
