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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23050 590c371f857b42000aca386d 高中 解答题 高中习题 邮局有 $3$ 分和 $5$ 分两种邮票，试证明邮费不低于 $8$ 分时，均可由这两种邮票支付． 2022-04-17 20:58:23
23019 59111eda40fdc700073df567 高中 解答题 高中习题 将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值． 2022-04-17 20:42:23
22959 59115d88e020e700094b0951 高中 解答题 高中习题 定义 $\overline{abc}$ 是一个三位数，其中各数位上的数字 $a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ 且不全相同．定义如下运算 $f$：把 $\overline{abc}$ 的三个数字 $a,b,c$ 自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补 $0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算 $f$ 的结果记为 $\overline{a_1b_1c_1}$，对于 $n>1$ 且 $n\in \mathbb{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将 $\overline{a_nb_nc_n}$ 的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为 $d_n$． 2022-04-17 20:11:23
22917 59267da7ee79c2000759a9e8 高中 解答题 高中习题 一个函数 $f(x)$，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“保三角形函数”． 2022-04-17 20:49:22
22892 599fd5df302017000853aa06 高中 解答题 自招竞赛 已知 $0<a_i<b_i<1$（$i=1,2,\cdots,2017$）且 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2017}(b_i-a_i)>2016$，求证：存在实数 $x$，使得对任意 $i=1,2,\cdots,2017$ 均有 $a_i<x<b_i$． 2022-04-17 20:35:22
22869 595c8ca56e0c65000834422c 高中 解答题 高中习题 设 $m,n (3\leqslant m\leqslant n)$ 是正整数，数列 $A_m:a_1,a_2,\cdots,a_m$，其中 $a_i (1\leqslant i\leqslant m)$ 是集合 $\{1,2,3,\cdots,n\}$ 中互不相同的元素．若数列 $A_m$ 满足：只要存在 $i,j (1\leqslant i<j\leqslant m)$ 使 $a_i+a_j \leqslant n$，总存在 $k (1\leqslant k\leqslant m)$ 有 $a_i+a_j=a_k$，则称数列 $A_m$ 是“好数列”． 2022-04-17 20:25:22
22812 59706de4dbbeff0009d29f47 高中 解答题 高中习题 已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=30$，$a_1a_2\cdots a_{10}<21$，求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 中必有一个小于 $1$． 2022-04-17 20:49:21
22622 59ba35d398483e0009c73168 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 2022-04-17 20:57:19
22572 59f17fef9552360007598c5b 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c,d$ 为正数且 $2(a+b+c+d)\geqslant abcd$，求证：$a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant abcd$． 2022-04-17 20:29:19
22541 59fd7fbd03bdb100096fbbfa 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$，设 $f_n(x)=f_{n-1}(f(x))$，其中 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．求 $f_n(x)$ 的表达式． 2022-04-17 20:09:19
22507 59269e8174a309000ad0ce4f 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① 函数 $f(x)$ 定义域为 $[0,1]$；
② 对于任意 $x\in[0,1]$，$f(x)\geqslant 0$，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$；
③ 对于满足条件 $x_{1},x_{2}\geqslant 0$，$x_{1}+x_{2}\leqslant 1$ 的任意两个数 $x_{1},x_{2}$，有 $f(x_{1}+x_{2})\geqslant f(x_{1})+f(x_{2})$．		 2022-04-17 20:51:18
22493 5927894474a309000ad0ce76 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{*}\in(0,1)$ 使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{*}]$ 上单调递增，在 $[x^{*},1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数，$x^{*}$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． 2022-04-17 20:43:18
22492 592789c974a309000ad0ce7a 高中 解答题 高中习题 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1},a_{2}$ 是正整数，且 $a_{n}=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|$，$n=3,4,5,\cdots$，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对差数列”． 2022-04-17 20:43:18
22488 59278ce974a309000ad0ce81 高中 解答题 高考真题 在单调递增数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 2$，不等式 $\left(n + 1\right){a_n} \geqslant n{a_{2n}}$ 对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 都成立． 2022-04-17 20:41:18
22486 59278de774a309000997fc07 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1} = \dfrac{2}{5}$，且对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，都有 $\dfrac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}} = \dfrac{{4{a_n} + 2}}{{{a_{n + 1}} + 2}}$． 2022-04-17 20:40:18
22465 59bbd59a8b403a0008ec5f6a 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb R$，且 $a^n+b^n=2$，其中 $n\in\mathbb N^*$，求证：$a+b\leqslant 2$． 2022-04-17 20:28:18
22392 5a03c41ee1d4630009e6d2f1 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f\left(n\right)\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$ 满足条件：
① $f\left(2\right)=2$；
② $f\left(xy\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)$；
③ $f\left(n\right)\in \mathbb N^{\ast}$；
④ 当 $x>y$ 时，有 $f\left(x\right)>f\left(y\right)$．		 2022-04-17 20:50:17
22355 59707176dbbeff000aeab893 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:29:17
21959 590be12b6cddca000a081b50 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 为 $\mathbb {R}$ 上的可导函数，对任意的 $x_0\in\mathbb {R}$，有 $0<f'\left(x+x_0\right)-f'\left(x_0\right)<4x$，$x>0$． 2022-04-17 20:45:13
21854 591132afe020e7000a7987f8 高中 解答题 高中习题 已知 $\sqrt{S_n}=\lambda a_n+c$，$a_n>0$，$a_1+a_3=2a_2$，求证：$\{a_n\}$ 是等差数列． 2022-04-17 20:51:12
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