设 $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$，设 $f_n(x)=f_{n-1}(f(x))$，其中 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．求 $f_n(x)$ 的表达式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f_n(x)=\dfrac{x}{1+n|x|},n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
用数学归纳法证明：\[f_n(x)=\dfrac{x}{1+n|x|},n\in\mathbb N^{\ast}.\]归纳基础 当 $n=1$ 时，命题显然成立
递推证明 假设当 $n=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时命题成立，则当 $n=k+1$ 时，有\[f_{k+1}(x)=f_k(f(x))=\dfrac{\dfrac{x}{1+|x|}}{1+k\left|\dfrac{x}{1+|x|}\right|}=\dfrac{x}{1+|x|+k|x|}=\dfrac{x}{1+(k+1)|x|},\]于是命题对 $n=k+1$ 也成立．
综合所述，原命题得证．
综合所述，原命题得证．
答案
解析
备注
