已知 $0<a_i<b_i<1$（$i=1,2,\cdots,2017$）且 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2017}(b_i-a_i)>2016$，求证：存在实数 $x$，使得对任意 $i=1,2,\cdots,2017$ 均有 $a_i<x<b_i$．
【难度】
【出处】
2017年中国科学技术大学综合评价测试数学试题（回忆版）
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明\[\max\{a_1,a_2,\cdots,a_{2017}\}<\min\{b_1,b_2,\cdots,b_{2017}\}.\]下面用反证法证明，不妨设\[\begin{aligned}a_m&=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_{2017}\},\\ b_n&=\min\{b_1,b_2,\cdots,b_{2017}\},\end{aligned}\]且 $a_m\geqslant b_n$．根据题意，有\[\sum_{i=1}^{2017}b_i-\sum_{i=1}^{2017}a_i>2016,\]而\[\begin{split}\sum_{i=1}^{2017}b_i-\sum_{i=1}^{2017}a_i&=\sum_{1\leqslant i\leqslant 2017,i\ne n,m}(b_i-a_i)+(b_n-a_m)+(b_m-a_n)\\
&<2015\cdot 1+0+1\\
&=2016,\end{split}\]矛盾．因此原命题得证．
&<2015\cdot 1+0+1\\
&=2016,\end{split}\]矛盾．因此原命题得证．
答案
解析
备注
