题目 在单调递增数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 2$，不等式 $\left(n + 1\right){a_n} \geqslant n{a_{2n}}$ 对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 都成立． 问题1 求 ${a_2}$ 的取值范围； 答案1 $\left( {2,{ 4 }} \right]$ 解析1 因为 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是单调递增数列，所以 ${a_2} > {a_1} $，即$${a_2} > 2.$$令 $n = 1$，得$$ 2{a_1} \geqslant {a_2} , {a_2} \leqslant 4,$$所以 ${a_2}$ 的取值范围是 $\left( {2,{ 4 }} \right]$． 备注1 问题2 判断数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 能否为等比数列？说明理由； 答案2 不能 解析2 用反证法．<br/>若 $\{a_n\}$ 是等比数列，不妨设公比为 $q$．<br/>因为 $a_1>0$，$\{a_n\}$ 单调递增，所以 $q>1$．<br/>因为$$(n+1)a_n\geqslant na_{2n},$$所以$$(n+1)a_1\cdot q^{n-1}\geqslant na_1\cdot q^{2n-1} , q^n\leqslant \dfrac{n+1}{n}\leqslant 2$$对任意 $n$ 恒成立．<br/>取 $n=[\log_q{2}]+1$，则$$q^n>2,$$矛盾．<br/>因此 $\{a_n\}$ 不可能是等比数列． 备注2 问题3 设 ${b_n} = \left( {1 + 1} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right) \cdots \left( {1 + \dfrac{1}{2^n}} \right)$，${c_n} = 6\left( {1 - \dfrac{1}{2^n}} \right)$，求证：对任意的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，$\dfrac{{{b_n} - {c_n}}}{{{a_n} - 12}} \geqslant 0$． 答案3 略 解析3 先探索 $b_n$ 与 $c_n$ 的大小关系．<br/>根据 $b_n$ 的结构形式，令 $B_n=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$，$n=1,2,\cdots $，则$$b_n=1+\dfrac 1{2^{n+1}},$$同时令$$\begin{split}C_n&=\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{6\left(1-\dfrac 1{2^{n+1}}\right)}{6\left(1-\dfrac 1{2^n}\right)}\\ &=\dfrac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}-2}\\ &=1+\dfrac{1}{2^{n+1}-2},\end{split}$$于是可得对任意 $n$，$$0<B_n<C_n,$$又$$b_1=(1+1)\left(1+\dfrac 12\right)=3=c_1.$$因此$$a_1B_1B_2\cdots B_{n-1}\leqslant c_1C_1C_2\cdots C_{n-1},$$也即$$b_n\leqslant c_n , b_n-c_n\leqslant 0.$$接下来证明 $a_n<12$．<br/>因为 $\{a_n\}$ 是单调递增数列，于是$$a_n<a_{2^{n+1}}.$$根据已知$$\dfrac{a_{2n}}{a_n}\leqslant 1+\dfrac 1n,$$所以$$\dfrac{a_{2^{n+1}}}{a_{2^n}}\cdot \dfrac{a_{2^n}}{a_{2^{n-1}}}\cdot \dfrac{a_2}{a_1}\cdot a_1\leqslant \left(1+\dfrac 1{2^n}\right)\left(1+\dfrac 1{2^{n-1}}\right)\cdots \left(1+\dfrac 12\right)\cdot (1+1)\cdot 2=2b_{n-1},$$即$$a_n<a_{2^{n+1}}\leqslant 2b_{n-1}\leqslant 2c_{n-1}<12.$$综上，原命题得证． 备注3