已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=30$，$a_1a_2\cdots a_{10}<21$，求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 中必有一个小于 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
设 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{10}} \geqslant 1$．
令 ${b_i} = {a_i} - 1$（$i = 1 , 2 , \cdots , 10$），则$$\begin{split}&{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_{10}} = 20,\\&\left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_{10}} + 1} \right) < 21,\end{split}$$而$$\left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_{10}} + 1} \right)\geqslant 1 + \left( {{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_{10}}} \right) = 21,$$矛盾．
因此原命题得证．
设 ${a_1} , {a_2} , \cdots , {a_{10}} \geqslant 1$．
令 ${b_i} = {a_i} - 1$（$i = 1 , 2 , \cdots , 10$），则$$\begin{split}&{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_{10}} = 20,\\&\left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_{10}} + 1} \right) < 21,\end{split}$$而$$\left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_{10}} + 1} \right)\geqslant 1 + \left( {{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_{10}}} \right) = 21,$$矛盾．
因此原命题得证．
答案
解析
备注
