题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 问题1 求证：对任意正整数 $n$，均有 $a_{n+1}<a_n$； 答案1 略 解析1 显然 $a_n\ne 0$（$n\in\mathbb N$）且 $a_n>0$，进而\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1}{1+a_n^2}<1,\]不等式得证． 备注1 问题2 求证：对任意正整数 $n$，均有 $a_n<\dfrac 3{4\sqrt n}$； 答案2 略 解析2 当 $n=1$ 时，$a_1=\dfrac 12<\dfrac 34$，命题成立．<br/>假设当 $n=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时命题成立，即\[a_k<\dfrac{3}{4\sqrt k},\]则当 $n=k+1$ 时，有\[a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n+\dfrac{1}{a_n}}<\dfrac{1}{\dfrac 3{4\sqrt n}+\dfrac {4\sqrt n}3}=\dfrac 34\cdot \dfrac{1}{\sqrt n+\dfrac {9}{16\sqrt n}},\]考虑到当 $n\geqslant 1$ 时有\[\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\dfrac{9}{16\sqrt n},\]于是可得\[a_{n+1}<\dfrac 3{4\sqrt{n+1}},\]命题成立．<br/>综上所述，原命题得证． 备注2 问题3 求证：$a_0+a_1+\cdots+a_n\geqslant \sqrt{2n+4}-1$． 答案3 略 解析3 根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+a_n,\]于是\[a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n},\]因此\[a_0+a_1+\cdots+a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_0}=\dfrac{1}{a_{n+1}}-1,\]于是需要证明 $a_n\leqslant \dfrac 1{\sqrt{2n+2}}$，与第二小问类似，可以用数学归纳法可以证明此不等式成立．于是有\[a_0+a_1+\cdots+a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-1\geqslant \sqrt{2n+4}-1.\] 备注3 每日一题[1016]数列性质与求和．