已知 $a,b,c,d$ 为正数且 $2(a+b+c+d)\geqslant abcd$，求证：$a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant abcd$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，假设$$a^2+b^2+c^2+d^2<abcd,$$则一方面有$$\begin{split} 2(a+b+c+d)&\geqslant abcd\\
&>a^2+b^2+c^2+d^2\\&\geqslant\dfrac14\left(a+b+c+d\right)^2, \end{split}$$于是有$$abcd\leqslant 2(a+b+c+d)<16.$$另一方面，有$$abcd>a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant 4\sqrt{abcd},$$即有$$abcd>16,$$矛盾，因此假设不成立，原命题得证．
&>a^2+b^2+c^2+d^2\\&\geqslant\dfrac14\left(a+b+c+d\right)^2, \end{split}$$于是有$$abcd\leqslant 2(a+b+c+d)<16.$$另一方面，有$$abcd>a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant 4\sqrt{abcd},$$即有$$abcd>16,$$矛盾，因此假设不成立，原命题得证．
答案
解析
备注
