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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27576 59084bf3060a05000bf2920b 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $p,q$，数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（$n=1,2,3\cdots $）．求证：要使得对任意正整数 $m,n$，均有 $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$，当且仅当 $p=1$ 时成立． 2022-04-17 21:32:05
27496 59095067060a050008cff4f6 高中 解答题 高考真题 设 ${a_1}= 1$，${a_{n + 1}}= \sqrt{a_n^2 - 2{a_n}+ 2}+ b \left(n \in{{\mathbb {N}}^*}\right)$． 2022-04-17 21:49:04
27481 59489280a26d28000a4db4e8 高中 解答题 自招竞赛 证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\] 2022-04-17 21:39:04
27471 59489717d37330000a165897 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:33:04
27435 5909904c38b6b400072dd210 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 21:13:04
27368 590ac3fd6cddca0008610e42 高中 解答题 高中习题 给定 $n$ 个正整数，考虑由这 $n$ 个正整数中的一个或多个相加得到的所有的和．求证：这些和可以分成 $n$ 组，且每一组中最大数与最小数之比不大于 $2$． 2022-04-17 21:33:03
27326 590ad6576cddca00092f705c 高中 解答题 高中习题 求证：$\sin x+\dfrac 12\sin 2x+\dfrac 13\sin 3x+\cdots +\dfrac{1}{n}\sin nx>0$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$x\in (0,\pi)$． 2022-04-17 21:09:03
27277 590bda916cddca000a081b2e 高中 解答题 自招竞赛 记 $n$ 个元素中取 $k$ 个元素的组合数为 $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$，利用数学归纳法证明：对 $n \geqslant1$，$\displaystyle \sum \limits _{k=0} ^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=2^n$． 2022-04-17 21:44:02
27263 5955ef8cd3b4f900095c65aa 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）． 2022-04-17 21:37:02
27197 590c24e5857b4200092b0656 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$． 2022-04-17 21:01:02
27175 590c388f857b4200092b06f3 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1} = 3$，${a_{n + 1}} = a_n^2 - n{a_n} + \alpha $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$\alpha \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 21:48:01
27165 590fcd7c857b4200085f8646 高中 解答题 自招竞赛 记函数 ${f_n}\left( x \right) = 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{2! }} + \dfrac{{{x^3}}}{{3! }} + \cdots + \dfrac{{{x^n}}}{{n! }}$，$n = 1, 2, \cdots$．
证明：当 $n$ 是偶数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 没有实根；当 $n$ 是奇数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 有唯一的实根 ${\theta _n}$，且 ${\theta _n} > {\theta _{n + 2}}$．		 2022-04-17 21:43:01
26946 5912704de020e7000878f7a4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y = f\left( x \right)$ 的图象与函数 $g\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 2$ 的图象关于点 $\left( {0, 1} \right)$ 对称． 2022-04-17 20:42:59
26934 591274f5e020e7000878f7f0 高中 解答题 自招竞赛 求证： 2022-04-17 20:35:59
26891 59128a3be020e70007fbeda2 高中 解答题 自招竞赛 对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:11:59
26723 59607e253cafba000ac43c9f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．） 2022-04-17 20:36:57
26598 591426a01edfe2000ade98c2 高中 解答题 高中习题 设有 ${2^n}$ 个球分成了许多堆，我们可以任意选取甲、乙两堆来按如下规则挪动：若甲堆的球数 $p$ 不少于乙堆的球数 $q$，则从甲堆中拿出 $q$ 个球放入乙堆，这算是挪动了一次．求证：可以经过有限次挪动把所有的球并成一堆． 2022-04-17 20:30:56
26587 591427211edfe2000ade98c6 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 是整数，且$$f(x)=\begin{cases}x-3,&x \geqslant 10,\\
f \left(f(x+5)\right),&x<10,\end{cases}$$求 $f(x)$ 的解析式．		 2022-04-17 20:24:56
26450 597e98aed05b90000c805804 高中 解答题 高中习题 设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-na_n+1$，${a_1} \geqslant 3$． 2022-04-17 20:05:55
26370 5927da2f50ce840009d7709c 高中 解答题 高考真题 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数． 2022-04-17 20:19:54
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