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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15257 5c6a4e82210b281dbaa933c8 高中 解答题 自招竞赛 在一种游戏中，“魔术师”请一个人随意想一个三位数 $\left( abc \right)$（其中 $a$，$b$，$c$ 依次是这个数的各个数位上的十进制数字），并请此人造出5个数 $\left( acb \right)$，$\left( bac \right)$，$\left( bca \right)$，$\left( cab \right)$ 和 $\left( cba \right)$，求出这5个数的和 $N$，把和 $N$ 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 $\left( acb \right)$．
现在设 $N=3194$，请你做魔术师，求出数 $\left( acb \right)$ 来．		 2022-04-17 19:04:12
15253 5c6a5349210b281db9f4c7a0 高中 解答题 自招竞赛 $x y$ 是满足方程 ${{y}^{2}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}=30{{x}^{2}}+517$ 的整数，求 $3{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ 的值． 2022-04-17 19:01:12
15248 5c6a74b6210b281db9f4c81e 高中 解答题 自招竞赛 1960年三位美国数学家证明存在一个正整数 $n$，使得 ${{133}^{5}}+{{110}^{5}}+{{84}^{5}}+{{27}^{5}}={{n}^{5}}$，推翻了欧拉的一个猜想，求 $n$ 的值． 2022-04-17 19:59:11
15246 5c6a74d0210b281db9f4c830 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是 $\left\{ 1, 2 ,3 ,\cdots ,1989 \right\}$ 的一个子集，$S$ 中没有两个元素相差4或7，$S$ 最多能有几个元素？ 2022-04-17 19:58:11
15230 5c6fb678210b28428f14c975 高中 解答题 自招竞赛 两个不同的无穷等比级数（各项均为实数），每个级数的各项之和等于1．两级数的第二项相同，且均可表示成 $\frac{\sqrt{m}-n}{p}$ 的形式，$m$，$n$，$p$ 为正整数，且 $m$ 不被任何素数的平方整除，其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$．试求 $100m+10n+p$ 的值． 2022-04-17 19:49:11
15216 5c75f9f8210b28428f14cd26 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的正整数 $p$，令 $b\left( p \right)$ 为唯一满足 $\left| k-\sqrt{p}\frac{1}{2} \right|$ 的正整数 $k$ 。例如，$b\left( 6 \right)=2$，$b\left( 23 \right)=5$ 。若 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left( p \right)}$，求出 $S$ 被 $1000$ 除所得的余数。 2022-04-17 19:43:11
15195 5c944ba0210b286d07454331 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $k$，设 $p\left( k \right)$ 表示不能整除 $k$ 的最小质数。当 $p\left( k \right)\text{}2$ 时，整值函数 $X\left( k \right)$ 是所有小于 $p\left( k \right)$ 的质数的乘积；当 $p\left( k \right)\text{=}2$ 时，$X\left( k \right)\text{=}1$ 。设数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}\text{=}1$，且 ${{x}_{n+1}}X\left( {{x}_{n}} \right)\text{=}{{x}_{n}}p\left( {{x}_{n}} \right)\left( n\geqslant 0 \right)$ 。若 ${{x}_{t}}\text{=}2090$，求正整数 $t$ 的最小值。 2022-04-17 19:29:11
15194 5c9996d9210b280b2256bfbb 高中 解答题 自招竞赛 $a\text{}1\text{,}x\text{}1$，满足 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}2 \right)+{{\log }_{a}}24-128 \right)\text{=128}$ 且 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}x \right)\text{=}256$ 。求 $x$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:29:11
15192 5c9c34ad210b280b2256c0e0 高中 解答题 自招竞赛 求所有满足条件的正整数 $b<1000$，使得 $b$ 进制下的数 ${{36}_{b}}$ 是一个完全平方数 ${{27}_{b}}$ 是一个完全立方数 2022-04-17 19:28:11
15176 5ca423e7210b28107f52aa7e 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p\text{,}q$ 为互质的正整数，$n$ 为非负整数。问：有多少个不同的整数可以表示为 $ip+jq$ 的形式，其中 $i\text{,}j$ 为非负整数，且 $i+j\leqslant n$ 。 2022-04-17 19:19:11
15171 5ca4283a210b28107f52aa9f 高中 解答题 自招竞赛 设 $m\text{,}n$ 是整数，$m\text{}n\geqslant 2$，$S=\left\{ 1,2,\cdots ,m \right\}$，$T\text{=}\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}} \right\}$ 是 $S$ 的一个子集。已知 $T$ 中的任何两个数都不能同时整除 $S$ 中的任何一个数。求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}\text{}\frac{m+n}{m}$ 。 2022-04-17 19:15:11
15169 5ca56b00210b281080bfd995 高中 解答题 自招竞赛 求证：对 $i\text{=}1\text{,}2\text{,}3$ 均有无穷多个正整数 $n$，使得 $n\text{,}n+2\text{,}n+28$ 中恰有 $i$ 个可表示为三个正整数的立方和。 2022-04-17 19:13:11
15164 5ca56b1f210b28107f52ab0b 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为大于 $3$ 的质数。求证：存在若干个整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{i}}$ 满足条件 $-\frac{p}{2}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{i}}<\frac{p}{2}$，使得乘积 $\frac{p-{{a}_{1}}}{\left| {{a}_{1}} \right|}\cdot \frac{p-{{a}_{2}}}{\left| {{a}_{2}} \right|}\cdots \frac{p-{{a}_{i}}}{\left| {{a}_{i}} \right|}$ 是 $3$ 的某个正整数次幂。 2022-04-17 19:11:11
15158 5cac2725210b2866bc01463b 高中 解答题 自招竞赛 求证：方程 $abc\text{=}2009\left( a+b+c \right)$ 只有有限组正整数解 $\left( a\text{,}b\text{,}c \right)$ 。 2022-04-17 19:08:11
15154 5caecd7a210b280220ed1c28 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a$ 不为完全平方数，$r$ 为关于 $x$ 的方程 ${{x}^{3}}-2ax+1=0$ 的一个实根。证明：$r+\sqrt{a}$ 为无理数。 2022-04-17 19:05:11
15153 5caecd8c210b280220ed1c32 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，$S$ 为 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 中所有与 $n$ 互素的数构成的集合。记 ${{S}_{1}}=S\bigcap \left( 0,\frac{n}{3} \right]$，${{S}_{2}}=S\bigcap \left( \frac{n}{3},\frac{2n}{3} \right]$，${{S}_{3}}=S\bigcap \left( \frac{2n}{3},n \right]$ 。若集合 $S$ 的元素个数为3的倍数，证明：集合 ${{S}_{1}}$、${{S}_{2}}$、${{S}_{3}}$ 的元素个数相等。 2022-04-17 19:05:11
15151 5caed9f9210b280220ed1c60 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，记 $g(n)$ 为 $n$ 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的个数：
1）$a,b,c\in \{1,2,\cdots ,2015\}$；
2）$g(a),g(b),g(c),g(a+b),g(b+c),g(c+a),g(a+b+c)$ 这七个数两两不同．		 2022-04-17 19:03:11
15150 5caed9fe210b28021fc754ad 高中 解答题 自招竞赛 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的） 2022-04-17 19:03:11
15141 5cb819db210b28021fc7583a 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n$ 的各位数字中，共含有 $a_{1}$ 个 $1$，$a_{2}$ 个 $2$，$\cdots$，$a_{9}$ 个 $9$．证明：$2^{a_{1}}\cdot3^{a_{2}}\centerdot \cdots\centerdot 10^{a_{9}}\leqslant n+1$，并确定使等号成立的条件． 2022-04-17 19:58:10
15132 5cc12146210b280220ed2558 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$，使得当正整数 $k\geqslant n$ 时，在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中，对任意 $x\in M$，总存在另一个数 $y\in M$ 且 $y\ne x$，满足 $x+y$ 为平方数． 2022-04-17 19:52:10
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