求证：对 $i\text{=}1\text{,}2\text{,}3$ 均有无穷多个正整数 $n$，使得 $n\text{,}n+2\text{,}n+28$ 中恰有 $i$ 个可表示为三个正整数的立方和。
【难度】
【出处】
2006第5届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
三个整数的立方和被 $9$ 除的余数不能为 $4$ 或 $5$，这是因为整数可写为 $3k$ 或 $3k\pm1\left( k\in \mathbb{Z} \right)$，而 ${{\left(3k \right)}^{3}}\text{=}9\times 3{{k}^{3}}$，${{\left( 3k\pm 1\right)}^{3}}\text{=}9\left( 3{{k}^{3}}\pm 3{{k}^{2}}+k \right)\pm 1$ 。 对 $i\text{=}1$，令 $n\text{=}3{{\left(3m-1 \right)}^{3}}-2\left( m\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right)$，则 $n$，$n+28$ 被 $9$ 除的余数分别为 $4$，$5$，故均不能表示为三个整数的立方和。而 $n+2\text{=}{{\left( 3m-1\right)}^{3}}+{{\left( 3m-1 \right)}^{3}}+{{\left( 3m-1 \right)}^{3}}$ 。 对 $i\text{=}2$，$n\text{=}{{\left( 3m-1 \right)}^{3}}+222\left( m\in {{\mathbb{Z}}_{+}}\right)$ 被 $9$ 除的余数为 $5$，不能表示为三个整数的立方和。而 $n+2\text{=}{{\left( 3m-1\right)}^{3}}+{{2}^{3}}+{{6}^{3}}$，$n+28\text{=}{{\left( 3m-1\right)}^{3}}+{{5}^{3}}+{{5}^{3}}$ 。 对 $i\text{=}3$，$n\text{=}216{{m}^{3}}\left( m\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right)$ 满足条件 $n\text{=}{{\left(3m \right)}^{3}}+{{\left( 4m \right)}^{3}}+{{\left( 5m \right)}^{3}}$，$n+2\text{=}{{\left(6m \right)}^{3}}+{{1}^{3}}+{{1}^{3}}$，$n+28\text{=}{{\left( 6m\right)}^{3}}+{{1}^{3}}+{{3}^{3}}$
答案
解析
备注
