求证：方程 $abc\text{=}2009\left( a+b+c \right)$ 只有有限组正整数解 $\left( a\text{,}b\text{,}c \right)$ 。
【难度】
【出处】
2009第8届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需证明：原方程满足 $a\leqslant b\leqslant c$ 的正整数解只有有限多组。 事实上，由 $a\leqslant b\leqslant c$，知 $abc\text{=}2009\left( a+b+c \right)\leqslant 6027c\Rightarrow ab\leqslant 6027$ 。因此只有有限多组正整数对 $\left(a\text{,}b \right)$，使得存在正整数 $c$ 满足 $a\leqslant b\leqslant c$ 及 $abc\text{=}2009\left( a+b+c\right)$ 。 又由于 $c\left( ab-2009 \right)\text{=}2009\left( a+b\right)$，故对于给定的正整数对 $\left( a\text{,}b \right)$，最多存在一个正整数 $c$ 满足 $a\leqslant b\leqslant c$ 及 $abc\text{=}2009\left( a+b+c \right)$ 。 因此，满足 $a\leqslant b\leqslant c$ 的正整数解只有有限多组。
答案
解析
备注
