设正整数 $a$ 不为完全平方数，$r$ 为关于 $x$ 的方程 ${{x}^{3}}-2ax+1=0$ 的一个实根。证明：$r+\sqrt{a}$ 为无理数。
【难度】
【出处】
2014第13届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $r+\sqrt{a}$ 为有理数。令 $y=r+\sqrt{a}$，则 $r=y-\sqrt{a}$ 。代入题给方程得 ${{\left( y-\sqrt{a} \right)}^{3}}-2a\left( y-\sqrt{a}\right)+1=0\Rightarrow {{y}^{3}}+ay+1-\left( 3{{y}^{2}}-a \right)\sqrt{a}=0$ 。因为 $a$ 不为完全平方数，即 $\sqrt{a}$ 不为有理数，所以，$\left\{ \begin{align}
&{{y}^{3}}+ay+1=0 \\
& 3{{y}^{2}}-a=0\\
\end{align} \right.$ 。消去 $a$ 得 $4{{y}^{3}}+1=0$，与 $y$ 为有理数矛盾。
&{{y}^{3}}+ay+1=0 \\
& 3{{y}^{2}}-a=0\\
\end{align} \right.$ 。消去 $a$ 得 $4{{y}^{3}}+1=0$，与 $y$ 为有理数矛盾。
答案
解析
备注
