设 $m\text{,}n$ 是整数，$m\text{}n\geqslant 2$，$S=\left\{ 1,2,\cdots ,m \right\}$，$T\text{=}\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}} \right\}$ 是 $S$ 的一个子集。已知 $T$ 中的任何两个数都不能同时整除 $S$ 中的任何一个数。求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}\text{}\frac{m+n}{m}$ 。
【难度】
【出处】
2005第4届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
构造 ${{T}_{i}}\text{=}\left\{\left. b\in S \right|\left| {{a}_{i}} \right|b\right\}\text{,}i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 。则 $\left| {{T}_{i}}\right|\text{=}\left[ \frac{m}{{{a}_{i}}} \right]$ 。 由于 $T$ 中任意两个数都不能同时整除 $S$ 中的一个数，所以，当 $i\ne j$ 时，有 ${{T}_{i}}\bigcap {{T}_{j}}\text{=}\varnothing $ 。则 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\left|{{T}_{i}} \right|}\text{=}\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\left[\frac{m}{{{a}_{i}}} \right]\leqslant m}$ 。又因为 $\frac{m}{{{a}_{i}}}\text{}\left[\frac{m}{{{a}_{i}}} \right]+1$，所以，$\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\frac{m}{{{a}_{i}}}\text{}\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\left(\left[ \frac{m}{{{a}_{i}}} \right]+1\right)}\text{=}\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\left[ \frac{m}{{{a}_{i}}}\right]}+\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{1\leqslant m+n}}$，即 $\displaystyle m\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{i}}}\text{=}\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\frac{m}{{{a}_{i}}}}}\text{}m+n$ 。 故 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{i}}}\text{}\frac{m+n}{m}}$ 。
答案
解析
备注
