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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15508 5966ea41030398000bbee7e0 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$，记 $f(n)$ 为数 $3n^2+n+1$ 的十进制表示的数码和． 2022-04-17 19:16:14
15462 596d797a77128b000aceeaea 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}-(x+y)^{2}z=0$ 的所有非负整数解． 2022-04-17 19:54:13
15422 597ad3320a41cd00072471b1 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是一个素数，$p \equiv 3(\mod 4)$．$x$，$y$ 是整数，满足 $p|x^2-xy+\dfrac {p+1}{4}y^2$．求证：存在整数 $u$，$v$，使得$$x^2-xy+\dfrac {p+1}{4}y^2=p\left(u^2-uv+\dfrac {p+1}{4}v^2\right).$$ 2022-04-17 19:32:13
15419 597afd9ed05b900009165048 高中 解答题 自招竞赛 设 $k,l$ 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数 $m\geqslant k$，使得 ${\rm C}_m^k$ 与 $l$ 互素． 2022-04-17 19:31:13
15416 597e84c7d05b90000c80572b 高中 解答题 高中习题 设正整数 $n$ 可以等于 $4$ 个不同的正整数的倒数之和，求 $n$ 的所有取值． 2022-04-17 19:29:13
15389 59881d385ed01a00098494e2 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2008}$ 为 $2008$ 个整数，且 $1\leqslant \alpha_i\leqslant9$（$i=1,2,\cdots,2008$）．如果存在某个 $k\in\{1,2,\cdots,2008\}$，使得 $2008$ 位数 $\overline{\alpha_k\alpha_{k+1}\cdots \alpha_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{k-1}}$ 被 $101$ 整除，试证明：对一切 $i\in\{1,2,\cdots,2008\}$，$2008$ 位数 $\overline{\alpha_i\alpha_{i+1}\cdots a_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{i-1}}$ 均能被 $101$ 整除． 2022-04-17 19:13:13
15338 59929c3b77d145000f32c310 高中 解答题 自招竞赛 $a,b$ 是两个不相等的正数，且满足 $a^3-b^3=a^2-b^2$，求所有可能的整数 $c$，使得 $c=9ab$． 2022-04-17 19:44:12
15330 59a36fb1fc0b3d0008a811d6 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\sqrt 5-\sqrt 3$ 是无理数． 2022-04-17 19:41:12
15328 59a76b86c302170008f62a2e 高中 解答题 自招竞赛 已知关于 $x$ 的方程 $ax^2-2x+2a^2-4=0$ 的解均为整数，求实数 $a$ 的值． 2022-04-17 19:40:12
15321 59b73315b049650008cb66e7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $k$，使得可将正整数集 $\mathbb N^*$ 分拆为 $k$ 个互不相交的子集 $A_1,A_2,\cdots,A_k$，每个子集 $A_i$ 中均不存在 $4$ 个数 $a,b,c,d$（可以相同），满足 $ab-cd=m$． 2022-04-17 19:36:12
15312 59bb3b4f77c760000717e3b1 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于所有的 $n\in\mathbb N^*$，不定方程 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=y^2$ 有正整数解 $(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$． 2022-04-17 19:31:12
15311 59bb3b4f77c760000717e3b3 高中 解答题 自招竞赛 求一个数 $k$，使得对所有 $n$，$k\cdot 2^n+1$ 都是合数． 2022-04-17 19:31:12
15308 59bb3cf977c760000717e3e0 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是是素数，求证：对任意整数 $a$，同余方程 $y^2+x^3+a \equiv 0\pmod p$ 有解． 2022-04-17 19:29:12
15306 59bb3cf977c760000717e3e6 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $m$，用 $f(m)$ 表示 $m$ 的互不相同的素因子个数，用 $g(m)$ 表示 $m$ 的最大奇数约数．证明：对任意正整数 $n$，存在大于 $1$ 的正整数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得 $x_k \mid 2^{x_k}+1,k=1,2,\cdots,n$，且\[\dfrac{2n}3<\sum_{k=1}^n\dfrac{g(f(x_k))}{f(x_k)}<\dfrac{2(n+1)}3.\] 2022-04-17 19:28:12
15281 5a4de24cc0972c000a466d36 高中 解答题 自招竞赛 设 $m,n$ 为正整数，且 $m<n$，求证：对于任意连续 $n$ 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为 $mn$ 的倍数． 2022-04-17 19:16:12
15273 5c6a218b210b281db9f4c6d3 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{a}_{n}}={{6}^{n}}+{{8}^{n}}$，求 ${{a}_{83}}$ 被49除的余数． 2022-04-17 19:12:12
15272 5c6a21d0210b281dbaa9330f 高中 解答题 自招竞赛 整数 $n=\text{C}_{200}^{100}$ 的两位素数因子的最大值是多少？ 2022-04-17 19:12:12
15268 5c6a3f04210b281dbaa93358 高中 解答题 自招竞赛 最大的不能写成两个奇合数之和的偶数是几？ 2022-04-17 19:09:12
15263 5c6a44cf210b281dbaa93371 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$，$c$，$d$ 是正整数，满足 ${{a}^{5}}={{b}^{4}}$，${{c}^{3}}={{d}^{2}}$，且 $c-a=19$，求 $d-b$． 2022-04-17 19:07:12
15259 5c6a4e50210b281dbaa933b9 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，使得 ${{n}^{3}}+100$ 能被 $n+10$ 整除． 2022-04-17 19:05:12
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