设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2008}$ 为 $2008$ 个整数，且 $1\leqslant \alpha_i\leqslant9$（$i=1,2,\cdots,2008$）．如果存在某个 $k\in\{1,2,\cdots,2008\}$，使得 $2008$ 位数 $\overline{\alpha_k\alpha_{k+1}\cdots \alpha_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{k-1}}$ 被 $101$ 整除，试证明：对一切 $i\in\{1,2,\cdots,2008\}$，$2008$ 位数 $\overline{\alpha_i\alpha_{i+1}\cdots a_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{i-1}}$ 均能被 $101$ 整除．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛浙江省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知条件，不妨设 $k=1$，即 $2008$ 位数 $\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_{2008}}$ 被 $101$ 整除，只要能证明 $2008$ 位数 $\overline{\alpha_2\alpha_3\cdots\alpha_{2008}\alpha_1}$ 能被 $101$ 整除，事实上\[\begin{split}&A=\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_{2008}}=10^{2007}\alpha_1+10^{2006}\alpha_2+\cdots+10\alpha_{2007}+\alpha_{2008},\\&B=\overline{\alpha_2\alpha_3\cdots\alpha_{2008}\alpha_1}=10^{2007}\alpha_2+10^{2006}\alpha_3+\cdots+10\alpha_{2008}+\alpha_1,\end{split}\]从而有$$10A-B=(10^{2008}-1)\alpha_1=[(9999+1)^{502}-1]\alpha_1=[9999N+1-1]\alpha_1.$$即有 $B=10A-9999\alpha_1N$．
因为 $101\mid A,101\mid 9999$，所以 $101\mid B$．利用上述方法依次类推可以得到：对一切 $i\in\{1,2,\cdots,2008\}$，$2008$ 位数 $\overline{\alpha_i\alpha_{i+1}\cdots a_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{i-1}}$ 均能被 $101$ 整除．
因为 $101\mid A,101\mid 9999$，所以 $101\mid B$．利用上述方法依次类推可以得到：对一切 $i\in\{1,2,\cdots,2008\}$，$2008$ 位数 $\overline{\alpha_i\alpha_{i+1}\cdots a_{2008}\alpha_1\cdots\alpha_{i-1}}$ 均能被 $101$ 整除．
答案
解析
备注
