设 $p$ 是一个素数，$p \equiv 3(\mod 4)$．$x$，$y$ 是整数，满足 $p|x^2-xy+\dfrac {p+1}{4}y^2$．求证：存在整数 $u$，$v$，使得$$x^2-xy+\dfrac {p+1}{4}y^2=p\left(u^2-uv+\dfrac {p+1}{4}v^2\right).$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件可知$$p|(2x-y)^2+py^2,$$则$$p|(2x-y)^2.$$因为 $p$ 是一个素数，故有$$p|2x-y.$$设 $2x-y=pk$，则\[\begin{split} x^2-xy+\dfrac {p+1}{4}y^2&=\dfrac 14(py^2+(2x-y)^2)\\ &=\dfrac 14 ((2x-pk)^2p+p^2k^2)\\ &=\dfrac p4((2x-pk)^2+pk^2)\\&=\dfrac p4((2x-pk+k-k)^2+pk^2)\\&=\dfrac p4((2u-v)^2+pv^2)\\&=\dfrac p4( 4u^2-4uv+(p+1)v^2)\\&=p\left(u^2-uv+\dfrac {p+1}{4}v^2\right),\end{split}\]其中 $u=x-\dfrac {k(p-1)}{2}$，$v=k$，命题得证．
答案
解析
备注
