设正整数 $n$ 可以等于 $4$ 个不同的正整数的倒数之和，求 $n$ 的所有取值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$ 或 $2$
【解析】
不妨设 $n = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}$，其中 $a < b < c < d$，$a , b , c , d \in {{\mathbb{N}}^ * }$．
情形一 若 $a \geqslant 3$，则$$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \leqslant \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{{19}}{{20}} < 1,$$无解．
情形二 若 $a = 2$，则$$n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \leqslant \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} < 2,$$于是 $n = 1$，此时$$1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{12}}$$是符合条件的解．
情形三 若 $a = 1$，则$$n = 1 + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{25}}{{12}},$$于是 $n = 1$ 或 $n = 2$．
又$$2=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6},$$所以 $n$ 可以取 $1$ 或 $2$．
综上知，$n$ 的所有可能取值为 $1$ 或 $2$．
又$$2=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6},$$所以 $n$ 可以取 $1$ 或 $2$．
综上知，$n$ 的所有可能取值为 $1$ 或 $2$．
答案
解析
备注
