题目 对正整数 $n$，记 $f(n)$ 为数 $3n^2+n+1$ 的十进制表示的数码和． 问题1 求 $f(n)$ 的最小值； 答案1 $3$ 解析1 由于 $3n^2+n+1$ 是大于 $3$ 的奇数，故 $f(n)\ne1$．<br/>假设 $f(n)=2$，则 $3n^2+n+1$ 只能为首位和末位为 $1$，其余数码为 $0$ 的一个数，即$$3n^2+n+1=10^k+1,$$显然当 $k=1$ 时，$n$ 不存在，所以 $k$ 是大于 $1$ 的整数，于是$$n(3n+1)=2^k\cdot5^k.$$下证 $n$ 与 $3n+1$ 互质．<br/>假设 $n$ 与 $3n+1$ 有大于 $1$ 的公约数 $m$，不妨设$$n=pm , 3m+1=qm,$$其中 $p,q,m\in\mathbb N^*$，于是 $3pm+1=qm$，即$$(q-3p)m=1,$$所以$$m=1,q-3p=1,$$这与 $m>1$ 矛盾，故 $n$ 与 $3n+1$ 互质．<br/>所以$$ \begin{cases}n=2^k,\\3n+1=5^k,\end{cases} $$于是$$3n+1\leqslant4n=4\cdot 2^k<5^k ,$$矛盾，故 $ f(n)\ne2 $．<br/>又当 $ n=8 $ 时，$$ 3n^2+n+1=201 ,$$所以 $ f(8)=3 $．<br/>综上所述，$ f(n)$ 的最小值为 $ 3$． 备注1 问题2 当 $n=2\cdot10^k-1$（$k$ 是正整数）时，求 $f(n)$； 答案2 $f(n)=9k-4$ 解析2 由 $n=2\cdot10^k-1$，得$$\begin{split}3n^2+n+1&=12\cdot10^{2k}-10\cdot10^k+3\\ &=11\underbrace{99\cdots99}_{k-1}\underbrace{00\cdots00}_{k}3,\end{split}$$所以$$f(n)=1+1+9(k-1)+3=9k-4,$$其中 $k$ 为正整数． 备注2 问题3 是否存在一个正整数 $n$，使得 $f(n)=2012$？ 答案3 存在 解析3 存在正整数 $n$，使得 $f(n)=2012$．<br/>事实上，令 $n=2\cdot10^k-1$，则 $f(n)=9k-4$．<br/>令$$9k-4=2012,$$解得 $k=224$．<br/>因此取 $n=2\cdot 10^{224}-1$ 可得 $f(n)=2012$． 备注3