设 $k,l$ 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数 $m\geqslant k$，使得 ${\rm C}_m^k$ 与 $l$ 互素．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
对任意正整数 $t$，令$$m=k+t\cdot l\cdot (k!),$$我们证明 $({\rm C}_m^k,l)=1$．
设 $p$ 是 $l$ 的任一素因子，只要证明：$p {\nmid} {\rm C}_m^k$．
情形一 若 $P \nmid k!$，则由\[\begin{split}k!{\rm C}_m^k&=\prod\limits_{i=1}^{k}(m-k+i)\\&\equiv \prod\limits_{i=1}^{k}[(i+tl(k!))]\\&\equiv \prod\limits_{i=1}^{k}i\\&\equiv k!(\mod p).\end{split}\]知 $p$ 不整除上式，故 $p {\nmid} {\rm C}_m^k$．
情形二 若 $p\mid k!$，设 $\alpha \geqslant 1$ 使 $p^{\alpha \mid k!}$，但 $p^{\alpha +1}\nmid k!$，则 $p^{\alpha +1}\mid l(k!)$，故由\[\begin{split}k!{\rm C}_m^k&=\prod\limits_{i=1}^{k}(m-k+i)\\&\equiv \prod\limits_{i=1}^k[i+tl(k!)]\\&\equiv \prod\limits_{i=1}^k i\\&\equiv k!(\mod p^{\alpha+1}).\end{split}\]及 $p^{\alpha}\mid k!$，且 $p^{\alpha +1}\nmid k!$，知$$p^\alpha \mid k!{\rm C}_m^k\land p^{\alpha+1}\nmid k!{\rm C}_m^k,$$从而 $p\nmid{\rm C}_m^k$．
综上知，存在无穷多个正整数 $m=k+t\cdot l\cdot (k!),t\in\mathbb N^*$，使得 ${\rm C}_m^k$ 与 $l$ 互素．
设 $p$ 是 $l$ 的任一素因子，只要证明：$p {\nmid} {\rm C}_m^k$．
综上知，存在无穷多个正整数 $m=k+t\cdot l\cdot (k!),t\in\mathbb N^*$，使得 ${\rm C}_m^k$ 与 $l$ 互素．
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