$a,b$ 是两个不相等的正数，且满足 $a^3-b^3=a^2-b^2$，求所有可能的整数 $c$，使得 $c=9ab$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$c$ 可以取 $1,2,3$
【解析】
由 $a^3-b^3=a^2-b^2$ 得$$a^2+ab+b^2=a+b,$$所以$$ab=(a+b)^2-(a+b)>0,$$由此得到 $a+b>1.$ 又因为$$\dfrac 14(a+b)^2>ab=(a+b)^2-(a+b),$$故$$1<a+b<\dfrac 43.$$又因为$$ab=(a+b)^2-(a+b),$$令 $t=a+b$，则 $ab=t^2-t.$ 当 $t\geqslant 1$ 时，$t^2-t$ 关于 $t$ 单调递增，所以 $0<ab<\dfrac 49,0<9ab<4.$ 因此 $c$ 可以取 $1,2,3$．
答案
解析
备注
