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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15211 5c763c3a210b28428f14ce1c 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{ {{2}^{0}} ,{{2}^{1}}, {{2}^{1}} ,\ldots ,{{2}^{10}} \right\}$．考虑集合 $S$ 中两个元素所有可能的差的绝对值，记 $N$ 为这些绝对值的和，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 19:39:11
15208 5c77428a210b28428f14ce50 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n!!$ 为 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1$（$n$ 为奇数时）或 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$（$n$ 为偶数时）当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2009}{\frac{\left( 2i-1 \right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，它的分母是 ${{2}^{a}}\cdot b$，其中 $b$ 是奇数，求 $\frac{ab}{10}$． 2022-04-17 19:37:11
15181 5ca41c74210b281080bfd8be 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}\text{=}2\text{,}{{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n}}+1\text{,}n\text{=1,2,}\cdots $ 。证明：$1-\frac{1}{{{2003}^{2003}}}\text{}\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{2003}}}\text{}1$ 2022-04-17 19:22:11
15160 5cac17b5210b2866bc014612 高中 解答题 自招竞赛 设正数列 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots $．满足 $\left( 8{{x}_{2}}-7{{x}_{1}} \right)x_{1}^{7}\text{=}8$ 及 ${{x}_{k+1}}{{x}_{k-1}}-x_{k}^{2}\text{=}\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{{{\left( {{x}_{k}}{{x}_{k-1}} \right)}^{7}}}\left( k\geqslant 2 \right)$ 。 求正实数 $a$，使得当 ${{x}_{1}}$ > $a$ 时，有单调性 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots $；当 $0$ < ${{x}_{1}}$ < $a$ 时，不具有单调性。 2022-04-17 19:09:11
15159 5cac17c1210b2866bb0a6958 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，令 ${{f}_{n}}\text{=}\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2008} \right]+\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2009} \right]$ 。求证：数列 ${{f}_{1}}\text{,}{{f}_{2}}\text{,}\cdots $ 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（$\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 19:09:11
15155 5caecd75210b280220ed1c22 高中 解答题 自招竞赛 对整数 $m\geqslant 4$，定义 ${{T}_{m}}$ 为满足下列条件的数列 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{m}}$ 的个数：
a）对每个 $i=1,2,\cdots ,m$，${{a}_{i}}\in \{1,2,3,4\}$；
b）${{a}_{1}}={{a}_{m}}=1$，${{a}_{2}}\ne 1$；
c）对每个 $i=3,4,\cdots ,m$，$a{}_{i}\ne {{a}_{i-1}}$，${{a}_{i}}\ne {{a}_{i-2}}$ 。
证明：存在各项均为正数的等比数列 $\{{{g}_{n}}\}$，使得对任意整数 $n\geqslant 4$，均有 ${{g}_{n}}-2\sqrt{{{g}_{n}}}<{{T}_{n}}<{{g}_{n}}+2\sqrt{{{g}_{n}}}$ 。		 2022-04-17 19:06:11
15146 5cb43cce210b280220ed1db5 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=e^{x}-\cos x,x>0$．正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时 $f(a_{n})=a_{n-1}$．求证： 2022-04-17 19:01:11
15143 5cb5978e210b28021fc75695 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}(n\in\mathbf N^{*})$． 2022-04-17 19:59:10
15128 5cc2c073210b280220ed261e 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$． 2022-04-17 19:50:10
15126 5cc66911210b28021fc75c5a 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $m,n$，定义函数 $f(m,n)$ 如下：
① $f(1,1)=1$；
② $f(m+1,n)=f(m,n)+2(m+n)$；
③ $f(m,n+1)=f(m,n)+2(m+n-1)$．		 2022-04-17 19:48:10
15119 5cd5199c210b28021fc760a0 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-1-1x$． 2022-04-17 19:45:10
15117 5cdb76d5210b280220ed2deb 高中 解答题 自招竞赛 将 $2n(n\geqslant 2)$ 个不同整数分成两组 $a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$．证明：$\sum_\limits{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}|a_i-b_i|-\sum_\limits{1\leqslant i<j\leqslant n}(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|)\geqslant n$． 2022-04-17 19:43:10
15114 5cdbc559210b28021fc76298 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 的奇数项是首项为 $1$ 的等差数列，偶数项是首项为 $2$ 的等比数列．数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_5=2a_4+a_5,a_9=a_3+a_4$． 2022-04-17 19:42:10
15112 5cde669f210b280220ed3074 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d(d\ne 0)$ 的等差数列，且 $a_1+t^2=a_2+t^3=a_3+t$． 2022-04-17 19:40:10
15111 5ce60bdb210b280220ed3361 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}:a_1=7,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+2,n=1,2,3,\cdots$．求满足 $a_n>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$． 2022-04-17 19:40:10
15104 5d075b3b210b28021fc773d0 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$，对 $n$ 元有序实数组 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 令 $b_{k}=\max\limits _{1 \leqslant i \leqslant k} a_{i}, k=1,2, \cdots, n$ 称 $B=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 为 $A$ 的“创新数组”，称 $B$ 中的不同元紫个数为 $A$ 的“创新阶数"．
考察 $1,2, \cdots,n$ 的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为 $2$ 的所有排列，求它们的每一项的算术平均值．		 2022-04-17 19:37:10
15100 5d1057cd210b280220ed4b4b 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $c$，设数列 $x_1,x_2, \cdots$ 满足 $x_1 = c$ 且 $x_{n}=x_{n-1}+\left[\dfrac{2 x_{n-1}-(n+2)}{n}\right]+1, n=2,3, \cdots$
其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，求数列 ${x_n}$ 的通项公式．		 2022-04-17 19:35:10
15091 5d15a7b9210b280220ed50a8 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $k \geqslant 3$，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{k}=2 k$，且对所有的 $n>k$，有
$a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{a_{n-1}+1,} & {a_{n-1}与n互质} \\ {2 n,} & {a_{n-1}与n不互质}\end{array}\right.$
证明：数列 $\left\{a_{n}-a_{n-1}\right\}$ }中有无穷多项是质数．		 2022-04-17 19:31:10
15089 5d1dd32a210b28021fc77fb6 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{u_{n}\right\},\left\{v_{n}\right\}$ 满足
$u_{0}=u_{1}=1$
$u_{n}=2 u_{n-1}-3 u_{n-2}(n \geqslant 2)$
$v_{0}=a, v_{1}=b, v_{2}=c$
$v_{n}=v_{n-1}-3 v_{n-2}+27 v_{n-3}(n \geqslant 3)$
假设存在正整数 $N$，使得当 $n\geqslant N$ 时，$v_n$ 均为整数且可被 $u_n$ 整除．证明：$3a=2b+c$．		 2022-04-17 19:31:10
15088 5d259baf210b280220ed5c6a 高中 解答题 自招竞赛 求最大的实数 $C$．使得对任意正整数 $n$ 和满足 $0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=1$ 的数列 $\{x_k\}$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\left(x_{k}-x_{k-1}\right)>C$． 2022-04-17 19:30:10
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