设 $n\geqslant 2$，对 $n$ 元有序实数组 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 令 $b_{k}=\max\limits _{1 \leqslant i \leqslant k} a_{i}, k=1,2, \cdots, n$ 称 $B=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 为 $A$ 的“创新数组”，称 $B$ 中的不同元紫个数为 $A$ 的“创新阶数"．
考察 $1,2, \cdots,n$ 的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为 $2$ 的所有排列，求它们的每一项的算术平均值．
考察 $1,2, \cdots,n$ 的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为 $2$ 的所有排列，求它们的每一项的算术平均值．
【难度】
【出处】
2000第15届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a_{1}=m$，则 $m$ 可为 $1, \cdots, n-1$ 中任何一个．
当 $a_1=m$ 时，称 $m+1, \cdots, n$ 为"大数"，$1, \cdots, m-1$ 为"小数"．在"大数"中，$n$ 应列于其他各数之前，由于共 $n -m$ 个“大数”，故知与 $a_{1}=m$ 相应的创新阶段为 $2$ 的排列数目为 $x_{m}=C_{n-1}^{n-m}(n-m-1) !(m-1) !=\dfrac{(n-1) !}{n-m}$ 因此，所求的算术平均值为 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{m=1}^{n-1} m x_{m}}{\sum\limits_{n=1}^{n-1} x_{m}}=\dfrac{(n-1) ! \sum\limits_{m=1}^{n-1} \dfrac{m}{n-m}}{(n-1) ! \sum\limits_{m=1}^{n-1} \dfrac{1}{n-m}}=\dfrac{\sum\limits_{n=1}^{n-1} \dfrac{n-m}{m}}{\sum\limits_{n=1}^{n-1} \dfrac{1}{m}}=n-\dfrac{n-1}{1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}}$
当 $a_1=m$ 时，称 $m+1, \cdots, n$ 为"大数"，$1, \cdots, m-1$ 为"小数"．在"大数"中，$n$ 应列于其他各数之前，由于共 $n -m$ 个“大数”，故知与 $a_{1}=m$ 相应的创新阶段为 $2$ 的排列数目为 $x_{m}=C_{n-1}^{n-m}(n-m-1) !(m-1) !=\dfrac{(n-1) !}{n-m}$ 因此，所求的算术平均值为 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{m=1}^{n-1} m x_{m}}{\sum\limits_{n=1}^{n-1} x_{m}}=\dfrac{(n-1) ! \sum\limits_{m=1}^{n-1} \dfrac{m}{n-m}}{(n-1) ! \sum\limits_{m=1}^{n-1} \dfrac{1}{n-m}}=\dfrac{\sum\limits_{n=1}^{n-1} \dfrac{n-m}{m}}{\sum\limits_{n=1}^{n-1} \dfrac{1}{m}}=n-\dfrac{n-1}{1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}}$
答案
解析
备注
