已知正整数 $c$，设数列 $x_1,x_2, \cdots$ 满足 $x_1 = c$ 且 $x_{n}=x_{n-1}+\left[\dfrac{2 x_{n-1}-(n+2)}{n}\right]+1, n=2,3, \cdots$
其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，求数列 ${x_n}$ 的通项公式．
其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，求数列 ${x_n}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2004第19届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然当 $n\geqslant 2$ 时 $x_{n}=x_{n-1}+\left[\dfrac{2\left(x_{n-1}-1\right)}{n}\right]$
令 $a_n=x_n-1$，则 $a_{1}=c-1$
$a_{n}=a_{n-1}+\left[\dfrac{2 a_{n-1}}{n}\right]=\left[\dfrac{n+2}{n} a_{n-1}\right], n=2,3, \cdots$ ①
设 $u_{n}=A \frac{(n+1)(n+2)}{2}, n=1,2, \cdots$，其中 $A$ 为非负整数．
由于当 $n\geqslant 2$ 时，有 $\begin{aligned}\left[\dfrac{n+2}{n} u_{n-1}\right]=&\left[A \dfrac{(n+2)}{2 n} n(n+1)\right]= A \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=u_{n} \end{aligned}$
所以数列 ${u_n}$ 满足 ① 设 $y_{n}=n, n=1,2, \cdots$，则当 $n\geqslant 2$ 时 $\begin{aligned}\left[\frac{n+2}{n} y_{n-1}\right]=&\left[\frac{(n+2)(n-1)}{n}\right]=\left[n+1-\frac{2}{n}\right]=n=y_{n} \end{aligned}$
从而 $\left\{y_{n}\right\}$ 也满足 ①．
设 $z_{n}=\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right], n=1,2, \cdots$．当 $n=2m$ 且 $m\geqslant 1$ 时 $\begin{aligned}\left[\dfrac{n+2}{n} z_{n-1}\right]=&\left[\dfrac{m+1}{m}\left[\dfrac{(2 m+1)^{2}}{4}\right]\right]=\left[\dfrac{m+1}{m} m(m+1)\right]=(m+1)^{2}=z_{n} \end{aligned}$
当 $n=2 m+1(m \geqslant 1)$ 时
$\left[\dfrac{n+2}{n} z_{n-1}\right]=\left[\dfrac{2 m+3}{2 m+1}\left[\dfrac{(2 m+2)^{2}}{4}\right]\right]=\left[\dfrac{2 m+3}{2 m+1}(m+1)^{2}\right]=\left[(m+1)(m+2)+\dfrac{m+1}{2 m+1}\right]=(m+1)(m+2)=\left[\dfrac{(2 m+3)^{2}}{4}\right]=z_{n}$
从而 ${z_n}$ 也满足 ①．
对任意非负整数 $A$，令 $v_{n}=u_{n}+y_{n}=A \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}+n, w_{n}=u_{n}+z_{n}=A \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right], n=1,2, \cdots$
显然 ${v_n}$ 和 ${w_n}$ 都满足 ①．
由于 $u_{1}=3 A, y_{1}=1, z_{1}=\left[\dfrac{9}{4}\right]=2$，所以当 $3 | a_{1}$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}}{6}(n+1)(n+2)$
当 $a_{1} \equiv 1(\bmod 3)$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}-1}{6}(n+1)(n+2)+n$
当 $a_{1} \equiv 2(\bmod 3)$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}-2}{6}(n+1)(n+2)+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right]$
综上可得
$x_{n}=\dfrac{c-1}{6}(n+1)(n+2)+1, c \equiv 1(\bmod 3)$
$x_{n}=\dfrac{c-2}{6}(n+1)(n+2)+n+1, c \equiv 2(\bmod 3)$
$x_{n}=\dfrac{c-3}{6}(n+1)(n+2)+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right]+1, c \equiv 0(\bmod 3)$
令 $a_n=x_n-1$，则 $a_{1}=c-1$
$a_{n}=a_{n-1}+\left[\dfrac{2 a_{n-1}}{n}\right]=\left[\dfrac{n+2}{n} a_{n-1}\right], n=2,3, \cdots$ ①
设 $u_{n}=A \frac{(n+1)(n+2)}{2}, n=1,2, \cdots$，其中 $A$ 为非负整数．
由于当 $n\geqslant 2$ 时，有 $\begin{aligned}\left[\dfrac{n+2}{n} u_{n-1}\right]=&\left[A \dfrac{(n+2)}{2 n} n(n+1)\right]= A \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=u_{n} \end{aligned}$
所以数列 ${u_n}$ 满足 ① 设 $y_{n}=n, n=1,2, \cdots$，则当 $n\geqslant 2$ 时 $\begin{aligned}\left[\frac{n+2}{n} y_{n-1}\right]=&\left[\frac{(n+2)(n-1)}{n}\right]=\left[n+1-\frac{2}{n}\right]=n=y_{n} \end{aligned}$
从而 $\left\{y_{n}\right\}$ 也满足 ①．
设 $z_{n}=\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right], n=1,2, \cdots$．当 $n=2m$ 且 $m\geqslant 1$ 时 $\begin{aligned}\left[\dfrac{n+2}{n} z_{n-1}\right]=&\left[\dfrac{m+1}{m}\left[\dfrac{(2 m+1)^{2}}{4}\right]\right]=\left[\dfrac{m+1}{m} m(m+1)\right]=(m+1)^{2}=z_{n} \end{aligned}$
当 $n=2 m+1(m \geqslant 1)$ 时
$\left[\dfrac{n+2}{n} z_{n-1}\right]=\left[\dfrac{2 m+3}{2 m+1}\left[\dfrac{(2 m+2)^{2}}{4}\right]\right]=\left[\dfrac{2 m+3}{2 m+1}(m+1)^{2}\right]=\left[(m+1)(m+2)+\dfrac{m+1}{2 m+1}\right]=(m+1)(m+2)=\left[\dfrac{(2 m+3)^{2}}{4}\right]=z_{n}$
从而 ${z_n}$ 也满足 ①．
对任意非负整数 $A$，令 $v_{n}=u_{n}+y_{n}=A \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}+n, w_{n}=u_{n}+z_{n}=A \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right], n=1,2, \cdots$
显然 ${v_n}$ 和 ${w_n}$ 都满足 ①．
由于 $u_{1}=3 A, y_{1}=1, z_{1}=\left[\dfrac{9}{4}\right]=2$，所以当 $3 | a_{1}$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}}{6}(n+1)(n+2)$
当 $a_{1} \equiv 1(\bmod 3)$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}-1}{6}(n+1)(n+2)+n$
当 $a_{1} \equiv 2(\bmod 3)$ 时 $a_{n}=\dfrac{a_{1}-2}{6}(n+1)(n+2)+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right]$
综上可得
$x_{n}=\dfrac{c-1}{6}(n+1)(n+2)+1, c \equiv 1(\bmod 3)$
$x_{n}=\dfrac{c-2}{6}(n+1)(n+2)+n+1, c \equiv 2(\bmod 3)$
$x_{n}=\dfrac{c-3}{6}(n+1)(n+2)+\left[\dfrac{(n+2)^{2}}{4}\right]+1, c \equiv 0(\bmod 3)$
答案
解析
备注
