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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15282 5a4b58c534d6f90007a5854f 高中 解答题 自招竞赛 比较 $\dfrac{\sqrt 2}2\cos(x-y)+\dfrac 12\sin x\cos y$ 与 $1$ 的大小． 2022-04-17 19:17:12
15270 5c6a3ef5210b281db9f4c71f 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f$ 定义在实数域上，并满足如下条件：对任何实数 $x$，$f\left( 2+x \right)=f\left( 2-x \right)$，而且 $f\left( 7+x \right)=f\left( 7-x \right)$．如果 $x=0$ 是 $f\left( x \right)=0$ 的一个根，$f\left( x \right)=0$ 在区间 $-1000\leqslant x\leqslant 1000$ 中至少应有几个根？ 2022-04-17 19:11:12
15261 5c6a44e2210b281dbaa9337c 高中 解答题 自招竞赛 $x$ 是实数，问前1000个正整数当中有多少个可以表示成 $\left[ 2x \right]+\left[ 4x \right]+\left[ 6x \right]+\left[ 8x \right]$ 的形式？ 2022-04-17 19:06:12
15240 5c6e3b76210b281db9f4ca32 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $x$，以 $\left[ x \right]$ 记不超过 $x$ 的最大整数．有多少个正整数 $n$，使得 $n<1000$ 且 $\left[ {{\log }_{2}}n \right]$ 是正偶数？ 2022-04-17 19:55:11
15220 5c74ea49210b28428f14cc38 高中 解答题 自招竞赛 试求满足 ${{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5$，其中 $2\leqslant a\leqslant 2005$，$2\leqslant b\leqslant 2005$ 的有序整数 $\left( a ,b \right)$ 对的个数。 2022-04-17 19:44:11
15205 5c774c79210b28428f14ce94 高中 解答题 自招竞赛 假设 $y=\frac{3}{4}x$，${{x}^{y}}={{y}^{x}}$，且 $x+y$ 可以表示成 $\frac{r}{s}$，其中 $r$ 和 $s$ 是互素的正整数。求 $r+s$ 的值。 2022-04-17 19:35:11
15202 5c8efeac210b286d125ef332 高中 解答题 自招竞赛 正实数 $x,y,z$ 满足 $\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2{{\log }_{2x}}\left( 4z \right)=2{{\log }_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\ne 0$ 。 $x{{y}^{5}}z$ 可表示为 $\frac{\text{1}}{{{\text{2}}^{p/q}}}$，其中 $p,q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 19:33:11
15170 5ca56aa0210b281080bfd98f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a>0$，函数 $f\text{:}\left( 0\text{,}+\infty \right)\to \mathbb{R}$ 满足 $f\left( a \right)\text{=}1$ 。如果对任意正实数 $x\text{,}y$，有 $f\left( x \right)f\left( y \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( \frac{a}{y} \right)\text{=}2f\left( xy \right)$，求证：$f\left( x \right)$ 为常数。 2022-04-17 19:14:11
15148 5cb42f39210b280220ed1d88 高中 解答题 自招竞赛 设 ${x}_{1}$、${x}_{2}$、${x}_{3}$ 是方程 ${x}^{3}-17x-18=0$ 的三个根，$-4<{x}_{1}<-3$ 且 $4<{x}_{3}<5$． 2022-04-17 19:02:11
15144 5cb59044210b280220ed1eb2 高中 解答题 自招竞赛 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 且满足条件：① 存在实数 $a\in(1,+\infty)$，使得 $f(a)=1$；② 当 $m\in\mathbf R$ 且 $x\in(0,+\infty)$ 时，有 $f(x^{m})-mf(x)=0$ 恒成立． 2022-04-17 19:59:10
15130 5cc2bf7e210b28021fc75c05 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha+\cos\beta$，试求 $\cos\alpha$ 的最大值． 2022-04-17 19:51:10
15109 5d070ac0210b280220ed4654 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a$，设实多项式序列 $|f_n(x) |$ 满足 $\begin{cases}
f_0(x)=1\\
f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax),n=0,1,2,\cdots\\
\end{cases}$
（1）求证：$f_n(x)=x^nf_n(\dfrac{1}{x}),n=0,1,2,\cdots$
（2）求 $f_n(x)$ 的明显表达式．		 2022-04-17 19:39:10
15090 5d1b1d6e210b28021fc77cff 高中 解答题 自招竞赛 证明存在唯一的函数 $f : Z_{+} \rightarrow Z_{+}$ 满足 $f(1)=f(2)=1,f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))(n \geqslant 3)$ ①
并对每个整数 $m\geqslant 2$，求 $f(2^m)$ 的值．		 2022-04-17 19:31:10
15084 5d2c602f210b28021fc78671 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $f(0)\neq 0$，且对于所有实数 $x,y$，均有\begin{equation}
f^{2}(x+y)=2 f(x) f(y)+\max \left\{f\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right), f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}
\end{equation}		 2022-04-17 19:28:10
15079 5d3fb607210b280220ed6d08 高中 解答题 自招竞赛 求所有的实数 $ x$，使得 $\left[x^{3}\right]=4 x+3$，这里 $[y]$ 表示不超过实数 $y$ 的最大整数． 2022-04-17 19:26:10
15078 5d3fb6b3210b280220ed6d16 高中 解答题 自招竞赛 求所有的实数 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，使得 $(2-\sin 2 x)\cdot \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$．并证明你的结论． 2022-04-17 19:26:10
15071 5d410f04210b28021fc79069 高中 解答题 自招竞赛 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$
（1）求证 $\tan x+\sin x>2x$；
（2）若 $\tan x-x>n(x-\sin x)$ 恒成立，求正整数 $n$ 的最大值．		 2022-04-17 19:21:10
15067 5d478ef8210b28021fc79289 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi)\left(A \neq 0, \quad \omega>0,0<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$．若 $f\left(\frac{5 \pi}{6}\right)+f(0)=0$，则 $\omega$ 的最小值为 ． 2022-04-17 19:19:10
15065 5d47903f210b280220ed711c 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=13$，则 $\dfrac{a^{2}+b^{3}+c^{4}+2019}{10 b+123 c+26}$ 的最小值为 ． 2022-04-17 19:18:10
15056 5ecf697a210b28017b0e235a 高中 解答题 高中习题 已知指数函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(-1,3)$，$g(x)=f^2(x)-2af(x)+3$ 在区间 $[-1,1]$ 的最小值 $h(a)$； 2022-04-17 19:12:10
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