求所有的实数 $ x$，使得 $\left[x^{3}\right]=4 x+3$，这里 $[y]$ 表示不超过实数 $y$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2001年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x$ 为满足条件的实数，则可设 $x=\dfrac{k}{4}(k \in{Z} )$，且 $\left[\dfrac{k^{3}}{64}\right]=k+3$．于是 $3 \leqslant \dfrac{k^{3}}{64}-k<4$，即
$192 \leqslant k(k-8)(k+8)<256$ ①
记 $f(k)=k(k-8)(k+8)$，则 $k, k-8, k+8$ 中恰有两个数都小于 $0$，或都大于 $0$，即 $-7 \leqslant k \leqslant-1$ 或 $k \geqslant 9$．
又当 $k\geqslant 10$ 时，$f(k) \geqslant 10 \times 2 \times 18>256$，矛盾．故 $k \in\{-7,-6, \cdots,-1,9\}$．分别计算，可知满足 ① 的 $k$ 只有两个，即 $k=-4,-5$．
从而 $x=-\dfrac{5}{4}$ 或 $-1$．
$192 \leqslant k(k-8)(k+8)<256$ ①
记 $f(k)=k(k-8)(k+8)$，则 $k, k-8, k+8$ 中恰有两个数都小于 $0$，或都大于 $0$，即 $-7 \leqslant k \leqslant-1$ 或 $k \geqslant 9$．
又当 $k\geqslant 10$ 时，$f(k) \geqslant 10 \times 2 \times 18>256$，矛盾．故 $k \in\{-7,-6, \cdots,-1,9\}$．分别计算，可知满足 ① 的 $k$ 只有两个，即 $k=-4,-5$．
从而 $x=-\dfrac{5}{4}$ 或 $-1$．
答案
解析
备注
