求所有的实数 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，使得 $(2-\sin 2 x)\cdot \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$．并证明你的结论．
【难度】
【出处】
2001年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=t$，即 $\sin x+\cos x=\sqrt{2} t$，于是
$1+\sin 2 x=2 t^{2}$，即 $\sin 2 x=2 t^{2}-1$．从而有 $t\left(3-2 t^{2}\right)=1$，即 $2 t^{3}-3 t+1=0$．①
注意到 $t=1$ 是上述方程的解，故 $(t-1)\left(2 t^{2}+2 t-1=0\right)$．
由于 $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$，所以 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqslant t \leqslant 1$，从而 $2 t^{2}+2 t-1\geqslant 2 \times \dfrac{1}{2}+2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-1>1$．
从而方程 ① 有惟一解 $t=1$，故原方程有唯一解 $x=\dfrac{\pi}{4}$．
$1+\sin 2 x=2 t^{2}$，即 $\sin 2 x=2 t^{2}-1$．从而有 $t\left(3-2 t^{2}\right)=1$，即 $2 t^{3}-3 t+1=0$．①
注意到 $t=1$ 是上述方程的解，故 $(t-1)\left(2 t^{2}+2 t-1=0\right)$．
由于 $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$，所以 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqslant t \leqslant 1$，从而 $2 t^{2}+2 t-1\geqslant 2 \times \dfrac{1}{2}+2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-1>1$．
从而方程 ① 有惟一解 $t=1$，故原方程有唯一解 $x=\dfrac{\pi}{4}$．
答案
解析
备注
