$0<x<\dfrac{\pi}{2}$
（1）求证 $\tan x+\sin x>2x$；
（2）若 $\tan x-x>n(x-\sin x)$ 恒成立，求正整数 $n$ 的最大值．
（1）求证 $\tan x+\sin x>2x$；
（2）若 $\tan x-x>n(x-\sin x)$ 恒成立，求正整数 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2019清华暑校
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）$g\left(x\right)=\tan x+\sin x-2x$．$g^{\prime}\left(x\right)=\sec^2 x+\cos x-2$
$h(x)=x^{-2}+x-2(0\leqslant x<1)$，$h^{\prime}(x)=-2x^{-3}+1<0$．
$h(1)=0$，故 $g^{\prime}\left(x\right)>0$．
$g(x)>g(0)=0$．
（2）若 $n\ge3$，代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$，可得不等式不成立．
我们接下来证明 $n=2$ 命题成立．
$f(x)=\tan x+2\sin x-3x$，$f^{\prime}(x)=\sec^2x+2\cos x-3>0$．
$f(x)>f(0)=0$
$h(x)=x^{-2}+x-2(0\leqslant x<1)$，$h^{\prime}(x)=-2x^{-3}+1<0$．
$h(1)=0$，故 $g^{\prime}\left(x\right)>0$．
$g(x)>g(0)=0$．
（2）若 $n\ge3$，代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$，可得不等式不成立．
我们接下来证明 $n=2$ 命题成立．
$f(x)=\tan x+2\sin x-3x$，$f^{\prime}(x)=\sec^2x+2\cos x-3>0$．
$f(x)>f(0)=0$
答案
解析
备注
